Träger dieser stetigen Funktion

Question

f(x,y)=           $$\sqrt{(1-x^2-y^2)}$$  falls $$ x^2+y^2 \leq 1$$ und 0 sonst.

Die "kritischen Punkte " sind ja 1) ( $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ ) , $$\frac{-1}{\sqrt{2}}$$ )

2) ($$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ ,$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$)

3) ($$\frac{-1}{\sqrt{2}}$$ ,  $$\frac{-1}{\sqrt{2}}$$ )

4) ($$\frac{-1}{\sqrt{2}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$)

Wie lautet jetzt der Träger dieser Funktion?

Comments

Meinst du das hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Träger_(Mathematik)#Träger_einer_Funktion ?

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@Lu Warum ist "Mathematik" im Link tiefgestellt?

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Das hat etwas mit der automatischen Umwandlung von hoch- und tiefgestelltem Text im Editor zu tun. Genaueres musst du Kai fragen. Mir ist die Tiefstellung egal, solange der Link an die richtige Stelle führt. 

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Träger_(Mathematik)#Träger_einer_Funktion

Du musst erst mal untersuchen, in welchem Gebiet die Funktionswerte nicht 0 sind, d.h. wo die Wurzel nicht 0 ist. Danach kannst du zum gefundenen Gebiet noch den Rand ergänzen.

Die Wurzel ist 0, wenn 1 - x^2 - y^2 = 0, d.h. wenn x^2 + y^2 = 1.

x^2 + y^2 = 1 ist die Gleichung des Einheitskreises im zweidimensionalen Koordinatensystem.

Die Wurzel ist ≥ 0, wenn 1 - x^2 - y^2 ≥ 0, d.h. wenn 1≥ x^2 + y^2 

x^2 + y^2 ≤ 1 ist die Gleichung einer Kreisscheibe im zweidimensionalen Koordinatensystem inklusive Rand. Diese Kreisscheibe müsste gemäss der verlinkten Definition eigentlich der Träger von f sein. Der Kreis von oben ist der Rand dieses Gebietes. 

Nebenbei: Warum hast du nur 4 kritische Punkte? Was meinst du damit? 

Comments

Das ist doch mal endlich eine gute Antwort. Dann lag ich ja richtig mit 1/sqrt(2) und seinem negativem. Dann ist der Träger:

[-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]x[-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]

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Diese Kreisscheibe müsste [...] der Träger von f sein.

Dann ist der Träger:


[-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]x[-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]

Ihr redet da irgendwie noch aneinander vorbei.

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Wieso ? Der Träger ist ja eine Teilmenge des R^2. Sind doch einfach diese beiden Intervalle für x und y.

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~draw~ kreis(0|0 1);rechteck(-0.707106|-0.707106 1.41421 1.41421);zoom(1) ~draw~

Lu meint das blaue, du das grüne.

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Ok dann hab ich es doch nicht verstanden. In dem Blauen sind doch seeeehr viele Punkte, die 0 ergeben, wenn ich sie einsetze.

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@EmNero: Danke für die Illustration.

In dem Blauen sind doch seeeehr viele Punkte, die 0 ergeben, wenn ich sie einsetze.

Richtig. Die Funktionswerte auf der ganzen Kreislinie sind 0. Das habe ich oben geschrieben. Überall innerhalb dieser Kreislinie sind die Funktionswerte grösser als 0. Wenn du mit diesem Gebiet noch etwas machen musst, kannst du z.B. Polarkoordinaten benutzen.

Nebenbei: Warum hast du nur 4 kritische Punkte? Was meinst du damit? 

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Mit den "kritischen Punkten" Meinte ich genau die Schnittstellen des Kreises mit den Koordinaten Achsen. Weil ich von diesen Ausgehend ja sagen kann, dass meine Funktion immer null ausgibt, wenn y oder eben x auf größer bzw. kleiner als diese Punkte sind.

Answer 2

Keine Antwort auf die Frage. Fortsetzung zu deinem Kommentar hier:

Mit den "kritischen Punkten" meinte ich genau die Schnittstellen des Kreises mit den Koordinaten Achsen. Weil ich von diesen Ausgehend ja sagen kann, dass meine Funktion immer null ausgibt, wenn y oder eben x auf größer bzw. kleiner als diese Punkte sind.

√(1 - x^{2} - y^{2}) = 0         .

Auf den Schnittstellen des Kreises mit den Koordinatenachsen, sind entweder x oder y Null.

Schnittstellen mit der x-Achse: y = 0

√(1 - x^{2} - 0^{2}) = 0 , → umformen ===> x = ±1 . Punkte sind A(-1|0), B(1|0)

Schnittstellen mit der y-Achse: x = 0
√(1 - 0^{2} - y^{2}) = 0 , → umformen ===> y = ±1 . Punkte sind C(0|-1), D(0|1) .

Somit nochmals 4 Punkte auf dem Kreis gefunden. Du hattest ja auch schon 4. Der Kreis besteht aus unendlich vielen Punkten.

Allgemein kannst du sagen. P(cos(phi) | sin(phi)) , wobei 0 ≤ phi < 2π . Lässt sich aber periodisch fortsetzen.

Answer 3

  In der Nummerik hat man das ganz typisch. Deine Funktion hat einen kompakten Träger.

   Jedem Punkt der Ebene wird  zugeordnet

     sqr  (  1  -  r  ²  )       (  1  )

    Hier du musst das in Pllarkoordinaten transformieren; du hast da eine ganz falsche Vorstellung von. Da gibt es gar keine kritischen Punkte.

   Suchen wir zunächst die Nichtnullstellenmenge    (  NNM  )  auf.  Das ist eine offene Menge;  nämlich das Innengebiet des einheitskreises.

   Den Träger erhältst du als Abschluss der  NNM  ;  d.h. du musst also noch sämtliche Randpunkte dazu nehmen. Das ergibt dann die abgeschlossene Kreisscheibe.

   Ach übrigens;  Lustr auf die ===>  Nonstandard Analysis  (  NSA  ;  IST  )  von  ===>    Edward Nelson?  Als Lehrbuch gibt es Alain Robert bei Wiley - neueste Ausgabe natürlich bei Amazon.

   Ich wäre dir auch behilflich.

    In der NSA gibt es ===>  implizite Definitionen;  der Träger einer Menge ist immer der Schatten der  NNM  .

Comments

Ich glaube nicht, dass das sonderlich viel mit der Aufgabe zu tun hat. Der Träger ist einfach der Bereich, in der die Funktion nicht null ist. Und die "Grenzen " dieses Bereichs sind ja -1/sqrt(2) und 1/sqrt(2). Aber wie lautet der Träger genau ?

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  Du bist typisch uneinsichtig. Wenn du schon nicht in der Lage bist, deine Fachliteratur zu konsultieren.

   ( Ich stamme immerhin aus Frankfurt, der Hochburg aller Fachid i oten für Funktionalanalysis. )

    Dann wirf wenigstens einen Blick in Wiki;  matematisch überragt das Niveau von Wiki die Standardlehrbücher um Größenordnungen.

    DU  glaubst, der Träger stimme mit der  NNM  überein.

    Andere glauben an Allah oder an Aladin und seine Wunderlampe ...

    Nein. Der Träger ist der  topologische  ===>  ABSCHLUSS  der  NNM  .

   https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4ger_(Mathematik)

    ( Ich habe mich nicht deshalb rückversichert, um dir einen Gefallen zu tun. Sondern  weil ich ( vergebens ) danach gesucht hatte, was man denn nun mit diesem Begriff anfangen kann. )

    Kanntu Polarkoordinaten?  Würdest du mir darin folgen, dass die  NNM  deiner Funktion gleich dem offenen Einheitskreis ist? Ich wäre durchaus bereit, wenn du selbst da noch Lücken hast, dir Nachhilfe in Koordinatensystemen zu geben

   ( Praktisch von Bedeutung sind ja eh nur Kugel-so wie Zylinderkoordinaten. )

   Und jetzt kommt die Preisfrage des Jahrhunderts.

   Was, oh du mein blond gelockter Geselle,  könnte wohl der ABSCHLUSS  des  OFFENEN     Einheitskreises  sein?

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Brauchst gar nicht so herablassend zu sein und dich dabei gut zu fühlen. Der Abschluss ist dann natürlich der Einheitskreis. Mein Verständnisproblem liegt darin, dass es uns so vermittelt wurde, dass der Träger die NNM ist und wenn ich demnach -1/sqrt(2) und 1/sqrt(2), die ja auf dem Rand des Kreises liegen als x und y wähle und in die Funktion einsetze, so erhalte ich 0.

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  Das mit der Illustration fand ich ideal .  Dass die Wurzel nämlich auf der blauen Kreisscheibe größer Null ist .

   Ich habe hier zehn Kommentare, die offensichtlich alle weg redigiert wurden.,