Altes Koordinatensystem in ein neues umrechnen

Question

wir stellen in kürze unser Programm um und dafür muss ich alle alten Koordinaten in ein neues System umrechnen.

Koordinaten vom alten System:
x: -339849(links) bis 475761(rechts)
y: -450438(oben) bis 356859(unten)

Das neue System benutzt diese Koordinaten
x: 0(links) bis 4000(rechts)
y: 0(oben) bis -4000(unten)

Mein Gedankengang lag bei dieser Rechnung:
x: 815610 : ? = 4000
y: 807297 : ? = 4000

Dort werden die Negativen + Positiven Zahlen Addiert und am Ende würde ich dann die y-Achse negieren. Da die Umrechnung über ein PHP Script läuft.

Hoffe es kann mir jemand bei dieser Rechnung helfen.

Gruß
Jürgen

Answer 1

\(x_{\text{neu}} = \frac{4000}{475761-(-339849)}(x_{\text{alt}} + 339849)\)

\(y_{\text{neu}} = -\frac{4000}{356859-(-450438)}(y_{\text{alt}} + 450438)\)

Answer 2

Hallo Jürgen,

die Transformation lautet: $$x' = 0.004904304753 \cdot x + 1666.723066 \\ y' = -0.004954805976 \cdot y -2231.832894$$ wobei \(x'; \, y'\) die neuen Koordinaten sind.

Zur Herleitung: es ist eine lineare Koordinatentransformation, wobei man IMHO am einfachsten das neue System im alten beschreibt. Der Koordinatenursprung des neuen liegt links oben bei \(\begin{pmatrix} -339849 & -450438\end{pmatrix}^T\). Die X-Richtung des neues Systems ist die gleiche wie im alten aber mit einem Faktor von $$f_x = \frac{475761 - (-339849)}{4000} \approx 203.9025$$

Die Y-Richtung des neuen ist entgegen gesetzt dem alten, ebenfalls mit einem Faktor $$f_y = - \frac{356859 - (-450438)}{4000} \approx -201.82425$$ daraus folgt die homogene Transformation neu nach alt: $$^{alt}T_{neu} = \begin{pmatrix}  203.9025& 0 & -339849 \\ 0 & -201.82425 & -450438\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Wir brauchen aber $$^{neu}T_{alt} = \left( {^{alt}T_{neu}} \right)^{-1} = \begin{pmatrix}  0.004904304753& 0 & 1666.723066 \\ 0 & -0.004954805976 & -2231.832894\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ (s.o.)