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also ich habe diese Aufgabe,

Es sei eine R-lineare Abbildung f: R5 -> R4 durch die folgene Abbildungsmatrix gegeben:

                       2  1  0  3  2

ME5E4 (f) = (   3  1  2  2  3  )

                       1  0  2 -1  1

                       4  0  2  2  1

wobei E5 und E4 die Standardbasen des R5 und Rsind. Bestimmen sie mithilfe der gegebenen Satz (1) zwei Basen A und B des R5 bzw. R4 , für die gilt:

                   1   0               ...        0

                   0   ...

MAB (f) = (                  1     ...        ...   )

                  ...             ...     0         ...

                                              ...    0

                   0             ...         0     0


Satz (1):

U ist ein n-dimensionaler Vektorraum, V ist ein m-dimensionaler Vektorraum

L ∈ hom(U, V)

-> A = u1,...,un von U

    B = v1,...,vn von V


Ich hoffe ihr könnt das so halbwegs lesen...

Ich weiß bereits, dass ich nun den Kern von L und die Basis des Kerns uk+1 , ... un bestimmen muss, allerdings komme ich mit der Darstellung von der Matrix ME5E4 nicht ganz klar und wozu ich die erste gegebene Matrix brauche.


Danke für eure mögliche Hilfe.

von

Vom Duplikat:

Titel: Aus Abbildungsmatrix Basen mit Bedingung bestimmen

Stichworte: abbildungsmatrix,lineare-abbildung,basis

Brauche Hilfe. Trotz Satz und Bewissidee weiß ich nicht so recht was ich machen soll...


20180629_210833.jpg

Hallo bestimme erst mal die Basis des Bildes ,bzw eine Basis des Bildes, und eine Basis des Kerns. Was bleibt dann noch?

Gruß lul

Bin wohl nicht der einzige in meinem kurs...

https://www.mathelounge.de/555687/abbildungsmatrix-basen-nullen-und-einsen

Denke habs verstanden

Danke für die Mitteilung. Habe die Fragen zusammengefügt.

1 Antwort

+2 Daumen

wozu ich die erste gegebene Matrix brauche.

Das ist die Information darüber, wie die Abbildung überhaupt funktioniert:

Wenn du also z.B. den Vektor   v =

2
0
3
1
-1

abbilden willst, dann rechnest du  M*v und bekommst

5
11
6
15

Wenn du auf diese Weise die kanonischen Basisvektoren abbildest, siehst du, dass

das Bild vom ersten die erste Spalte der Matrix ergibt und das Bild vom zweiten die 2. Spalte etc.

Und wenn du in R^5 einen Basisvektor aus dem Kern nimmst, hast du als Bild den

Nullvektor und damit in der entsprechenden Spalte der neuen Abbildungsmatrix lauter

Nullen. Du brauchst also für den 3. und 4. Basisvektor (Der Kern ist ja hier 2-dimensional)

einfach nur eine Basis des Kerns. Ich bekomme da die Spalten, (die ich jetzt mal

als Zeilen schreibe)  (-1 , -1 , 1 , 1 , 0 ) und ( 0 , -2 , -0.5 , 0 , 1) .

Dazu nimmst du die ersten 3 kanonischen Basisvektoren von R^5, die sind nämlich davon

linear unabhängig.

Jetzt brauchst du nur noch eine passende Basis von R^4 .  Für die ersten 3 nimmst du einfach die Bilder

der ersten 3 Basisvektoren , das sind genau die ersten 3 Spalten von M und ergänzt die zu einer

Basis von R^4.  Zum Beispiel mit dem Vektor

0
1
0
1

oder irgendeinen, der von den ersten 3 lin. unabhängig ist.

Die gesuchten Basen sind also

$$A=(\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\-1\\1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\-2\\-0,5\\0\\1\end{pmatrix})$$und$$B=(\begin{pmatrix} 2\\3\\1\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\2\\2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1\end{pmatrix})$$

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