Bestimmen Sie die kritischen Punkte einer funktion mit 2 variablem

Question

Bestimmen Sie die kritischen Punkte (MAX-MIN-Sattelpunkt) der Funktion f(x,y)=2x^2−6x+2y+5xy−3y^2?

wie sind die xe und ye werte ? und wie muss man da vorgehen, wegen den 2 variablen

Answer 1

Hallo

.grad f bilden und 0 setzen. dann Hessematrix um die Art der kritischen Punkte zu bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

Hallo drashheed, 

Bestimmen Sie die kritischen Punkte (MAX-MIN-Sattelpunkt) der Funktion f(x,y)=2x²−6x+2y+5xy−3y²?

mit den partiellen Ableitungen erhältst du das Gleichungssytem

f_x (x,y)  =  4·x + 5·y - 6 = 0    und   f_y (x,y) =  5·x - 6·y + 2

Dessen Lösung  (x,y) =  (26/49 , 38/49)  ist der einzige kritische Punkt.

Mit den zweiten partiellen Ableitungen prüfst du mit der Determinante der Hessematrix

f_xx • f_yy - f_xy²   > 0 → Extrempunkt
                        < 0  → Sattelpunkt
                        = 0    erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix  (hier nicht!)
im Fall "Extremum" weiter:
f_xx  < 0  →  Hochpunkt
      > 0  →  Tiefpunkt
      = 0  kann nicht vorkommen

In deinem Fall ergibt sich wegen  4 * (-6) - 5² < 0

 ein Sattelpunkt in (26/49 , 38/49)

Hier kannst du dir im wesenlichen Bereich den Graphen ansehen:

<a href="http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-1&xmax=1&ymin=-1&ymax=1&zmin=Auto&zmax=Auto&f=2%2Ax%5E2-6%2Ax%2B2%2Ay-5%2Ax%2Ay-3%2Ay%5E2

Man erkennt den Sattelpunkt besser, wenn man den Graph dreht.

Gruß Wolfgang