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Sei K ∈ {ℝ, ℂ}. Sei (an)n∈ℕ eine Folge in K. Zeigen Sie für die Potenzreihen

n=0 antn    ,     ∑n=1 nantn-1    die folgenden Aussagen:


a) Sei y ∈ K derart, dass ∑n=0 anyn konvergiert. Dann konvergiert ∑n=1 nanxn-1 für alle x ∈ K mit |x|  <  |y|
b) Die Konvergenzradien beider Potenzreihen stimmen überein.
c) Beweisen oder widerlegen Sie: Sei x ∈ K. Dann konvergiert ∑n=0 anxn genau dann wenn ∑n=1 nanxn-1 konvergiert.

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Zu (c) wähle vielleicht \(a_n=\frac1{n+1}\) und \(x=-1\).

1 Antwort

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Hallo

 falls die Potenzreihe für |x|<a konvergiert beschreibt sie eine stetige differenzierbare Funktion in dem Bereich.  die 2 te Reihe ist die Ableitung der Funktion,  hilft dir das?

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

ja das ist mir auch aufgefallen aber wie beweise ich damit nun die Aussage?

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