Nullstellen von ganzrationalen Funktionen? x^4-9x^2+20

Question

kann mir jemand gute lösungsstrategien für die formel x^4-9x^2+20 außer substitution, wäre nett, mfg

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Vom Duplikat:

Titel: Kann mir jemand die Lösung geben? x^{4} - 9x^{2} + 20

Stichworte: biquadratisch

Lösung+Lösungsweg=   (:    x^4 - 9x^2 + 20

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Lösung+Lösungsweg=  (:    x^4 - 9x^2 + 20

Geile Gleichung

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Ich meine hier f(x)=x^4 - 9x^2 +20 und suche die Nullstellen mfg danke für die bereits vielen antworten

Answer 1

x^{4}-9x^{2}+20

= (x^2-4)*(x^2-5)

(Faktorisieren mit dem Satz von Viéta)

Answer 2

x^4-9x^2+20 = 0

Wenn du gut raten kannst, such die zwei Zahlen a und b

mit   a+b = 9   und  a*b = 20 .

Schnell gefunden ist a=4 und b=5, also

x^4-9x^2+20 = 0

<=> (x^2-4)*(x^2-5) = 0

<=> x^2 = 4  oder x^2 = 5

<=> x=2 oder x=-2 oder x=√5 oder x=-√5

Answer 3

\(x^4-ax^2+b\) wird zu:$$x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{-a-\sqrt{a^2-4b}}}{√2}$$$$x_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{\sqrt{a^2-4b}-a}}{√2}$$

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Die Formel leite ich aber her, indem ich substituiere... Aber wenn man sie auswendig kann, dann nicht! ;)

Answer 4

du kannst auch einfach substituieren ohne dir die Formel wie Anton herzuleiten, nur dann musst du auch wieder resubstituieren:

$$x^4-9x^2+20=0\\z:= x^2\\z^2-9z+20=0\\{z}_{1/2}=\frac{9}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2-20}\\{z}_{1}=5\\{z}_{2}=4\\{x}_{1/2}=\pm\sqrt{2}=\pm2\\{x}_{3/4}=\pm\sqrt{5}$$

Gruß

Smitty

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Ach ich sehe gerade, dass geogborn genau das gleiche vorgeschlagen hat und, dass der Fragesteller einen anderen Weg haben wollte.

Answer 5

Antwort auf Duplikat
Titel: Kann mir jemand die Lösung geben? x^4 - 9x^2 + 20

Stichworte: biquadratisch

Lösung+Lösungsweg=  (:    x^4 - 9x^2 + 20

Wie lautet die Aufgabe?

Da steht nicht einmal eine Gleichung (keine Gleichzeichen!).

Bitte eine genauere Angabe.

Answer 6

Antwort auf Duplikat
Titel: Kann mir jemand die Lösung geben? x^{4} - 9x^{2} + 20

Stichworte: biquadratisch

Lösung+Lösungsweg=  (:    x^{4} - 9x^{2} + 20

bei so einer Gleichung kannst du substituieren. Das ist eine sogenannte biquadratische Gleichung. Ich nehme mal an du meinst die Nullstellen.

Daraus kann man eine quadratische Gleichung gewinnen, denn so hast du ein bekanntes Problem was du lösen kannst.

$$ \text{Setze  }  z=x^2$$ Dann ist

$$ f(z)=z^2-9z+20=0 $$

Mit der pq-Formel erhält man dann:

$$ z_{1,2}=-\frac{-9}{2}\pm \sqrt{\Big(-\frac{9}{2}\Big)^2-20}\\ z_{1,2}=\frac{9}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\\z_{1,2}=\frac{9}{2}\pm \frac{1}{2}\\\Rightarrow  z_1=5\quad z_2=4$$

Jetzt musst du noch rücksubstituieren:

$$ z_1=5=x^2\quad |\sqrt{} \\ x_{1,2} =\pm\sqrt{5} \Rightarrow \underline{x_1=+\sqrt{5}\quad x_2=-\sqrt{5}}$$

$$ z_2=4=x^2\quad |\sqrt{} \\ x_{3,4} =\pm2 \Rightarrow \underline{x_3=+2\quad x_4=-2}$$

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Dass es eine Antwort auf diese Frag schon gab, wusste ich nicht!!

außer substitution,

Der jetzige Fragesteller hat das nicht gesagt, sonst hätte ich auch KEINE Substitution gemacht!!

Answer 7

x^4-9x^2+20 = 0
Falls dich das x^4 irritiert dann ersetze
x^2 = z

z^2 + 9z + 20 = 0
jetzt die pq-Formel oder quadr.Ergänzung.
Nach der Lösung für z wieder zurückersetzen.

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außer substitution, wäre nett,

Answer 8

Antwort auf Duplikat
Titel: Kann mir jemand die Lösung geben? x^{4} - 9x^{2} + 20

Stichworte: biquadratisch

Lösung+Lösungsweg=  (:    x^{4} - 9x^{2} + 20

Falls die Nullstellen gesucht sind:

x^4 - 9x^2 + 20=0

Substituiere z=x^2

z^2 -9z +20=0 ->pq.Formel z.B.

z1,2= 9/2± √(81/4  - 80/4)

z1,2= 9/2± 1/2

z1= 5

z2=  4

->Resubstitution:z=x^2

x₁= √5

x₂= -√5

x₃= 2

x₄= -2

Answer 9

Antwort auf Duplikat
Titel: Kann mir jemand die Lösung geben? x^{4} - 9x^{2} + 20

Stichworte: biquadratisch

Lösung+Lösungsweg=  (:    x^{4} - 9x^{2} + 20

Satz von Vieta:

= (x^2-5)*(x^2-4)

Falls das Null werden soll, Satz vom Nullprodukt anwenden!

Answer 10

Antwort auf Duplikat
Titel: Kann mir jemand die Lösung geben? x^{4} - 9x^{2} + 20

Stichworte: biquadratisch

Lösung+Lösungsweg=  (:    x^{4} - 9x^{2} + 20

x^{4} - 9x^{2} + 20

= (x^2 - 5)(x^2 - 4)

= (x-√5)(x+√5)(x-2)(x+2)

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