Für große \(n\) kann die Binomialverteilung durch die (Standard)-Normalverteilung approximiert werden. Ist also \(\text X\sim\text B(n;p;k)\), so gilt:$$P(x≤X≤y)=\Phi\left(\frac{y+0.5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi \left(\frac{x-0.5-\mu}{\sigma}\right)$$ Uffbasse:
Wie bei jeder Binomialverteilung ist der Erwartungswert \(\mu=n\cdot p\) und die Standardabweichung \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\). Also rechnen wir diese zuvor aus:$$\mu=1700\cdot 0.03=51$$$$\sigma=\sqrt{1700\cdot 0.03\cdot (1-0.03)}≈ 7.033491$$ Wahrscheinlichkeitsberechnung:$$P(40≤X≤62)=\Phi\left(\frac{62+0.5-51}{\sqrt{1700\cdot 0.03\cdot (1-0.03)}}\right)-\Phi \left(\frac{40-0.5-51}{\sqrt{1700\cdot 0.03\cdot (1-0.03)}}\right)$$$$P(40≤X≤62)=\Phi\left(1.64\right)-\Phi \left(-1.64\right)$$$$P(40≤X≤62)=0.94950-(1-0.94950)$$$$P(40≤X≤62)=0.94950-(1-0.94950)=0.899$$ Du kannst den ganzen Käse am besten überprüfen, wenn du einfach normal mit der Binomialverteilung nachrechnest:$$P(40≤X≤62)=\sum_{k=42}^{62}{\begin{pmatrix} 1700 \\ k \end{pmatrix}}\cdot 0.03^k\cdot (1-0.03)^{1700-k}$$$$P(40≤X≤62)≈ 0.898720$$ Also schon eine ziemlich gute Approximation, nicht wahr? Die Kontrolle konnte ich nicht mit meinem Taschenrechner machen, da musste schon ein Extra "Superrechner" her :D.
Genau deshalb brauchst du diese Approximation!
