Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei einer Charge von 1700 Stück zwischen 40 und 62 Stück Ausschuss?

Question

Eine Fertigungsmaschine produziert 3% Ausschuss.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei einer Charge von 1700 Stück zwischen 40 und 62 Stück Ausschuss? Verwenden Sie für die Berechnung die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung sowie die Stetigkeitskorrektur.

Könnte mir bitte hier jemand helfen.. mein rechenweg lautet wie folgt..dennoch sollte 0,898 herauskommen..

und ich muss es per hand berechnen können..

danke!

Answer 1

Für große $n$ kann die Binomialverteilung durch die (Standard)-Normalverteilung approximiert werden. Ist also $\text X\sim\text B(n;p;k)$, so gilt:$$P(x≤X≤y)=\Phi\left(\frac{y+0.5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi \left(\frac{x-0.5-\mu}{\sigma}\right)$$ Uffbasse:

Wie bei jeder Binomialverteilung ist der Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$. Also rechnen wir diese zuvor aus:$$\mu=1700\cdot 0.03=51$$$$\sigma=\sqrt{1700\cdot 0.03\cdot (1-0.03)}≈ 7.033491$$ Wahrscheinlichkeitsberechnung:$$P(40≤X≤62)=\Phi\left(\frac{62+0.5-51}{\sqrt{1700\cdot 0.03\cdot (1-0.03)}}\right)-\Phi \left(\frac{40-0.5-51}{\sqrt{1700\cdot 0.03\cdot (1-0.03)}}\right)$$$$P(40≤X≤62)=\Phi\left(1.64\right)-\Phi \left(-1.64\right)$$$$P(40≤X≤62)=0.94950-(1-0.94950)$$$$P(40≤X≤62)=0.94950-(1-0.94950)=0.899$$ Du kannst den ganzen Käse am besten überprüfen, wenn du einfach normal mit der Binomialverteilung nachrechnest:$$P(40≤X≤62)=\sum_{k=42}^{62}{\begin{pmatrix} 1700 \\ k \end{pmatrix}}\cdot 0.03^k\cdot (1-0.03)^{1700-k}$$$$P(40≤X≤62)≈ 0.898720$$ Also schon eine ziemlich gute Approximation, nicht wahr? Die Kontrolle konnte ich nicht mit meinem Taschenrechner machen, da musste schon ein Extra "Superrechner" her :D.

Genau deshalb brauchst du diese Approximation!

Comments

Kein Problem, hast du noch Fragen?

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nein dankeschön, habe nur meinen fehler bei der standardabweichung nicht bemerkt.

bekomme hier auch 7,033 heraus, obwohl ich es gleich wie du anschreibe, denoch kommen wir auf das selbe endergebnis.

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Hast du die Formel für die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung verwendet? Das wird in der Aufgabenstellung verlangt.

"Berechnung die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung sowie die Stetigkeitskorrektur."

Bei mir steht oben ja $+0.5$ und $-0.5$ in der Formel.

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Ja, die $\sigma$ ist $7.033$. Habe das oben editiert. Habe auch richtig weitergerechnet nur die Standardabweichung oben falsch hingeschrieben. Jetzt stimmt alles, sorry für die Verwirrung.

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ja genau, nein ich meinte deine 2. berechnung, welche du jetzt eh geändert hast :-)

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Ja, habe ich auch gerade bemerkt. Habe aber sonst richtig weiter gerechnet. Ich hoffe, dass alle Unklarheiten nun beseitigt sind.

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kein problem! vielen dank für deine ausführliche berechnung!

Answer 2

Ich bekomme für Sigma = √49,47  ≈ 7,03