Taylorpolynom von f(x) = ln(1 + x), sowie zugehöriges Lagrange Restglied

Question

das ganze Thema ums Taylorpolynom ist mir noch extrem abstrakt, würde mir jemand erklären wie man schritt für schritt an so eine Aufgabe rangeht?

Sei f(x) = ln(1 + x). Bestimme das n-te Taylorpolynom Tn von f in x0 = 0, sowie das zugehörige Lagrange Restglied.

Liebe grüße!

Answer 1

finde zu deiner Funktion eine Formel für die n-te Ableitung.
$$ f^{(0)}(x)=\ln(1+x)\\f^{(1)}(x)=\frac{1}{1+x}\\ \vdots\\ f^{(n)}(x)=... $$
Diese Ableitung beweist du noch mit vollständiger Induktion.
Dann machst du eine Restgliedabschätzung. Ich mache es immer mit Lagrange.
Das sieht dann so aus:
$$ R_n(x)=\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\Bigg| $$ wobei dein ξ immer zwischen x und x0 liegt.