Question

Sei f : [0, 1] → [0, 1] gegeben durch f(x) = √ (1 − x²). Der Graph beschreibt einen
Viertelkreis mit dem Radius 1 (machen Sie sich das bitte klar), und die Fläche
zwischen Graph und x-Achse ist, wie Sie noch aus der Schule wissen, π/4.
Uberlegen Sie sich geeignete Zerlegungen von [0,1] und stellen Sie zu den Zerlegungen
die Ober- und die Untersumme von f wie folgt auf.

(bitte mit Rechenweg wenn möglich.)

(a) Berechnen Sie Ober- und Untersumme fur  n = 3, 5, 10 Teilintervalle der Zerlegung
und vergleichen Sie die Werte mit dem Flächeninhalt des Viertelkreises.

(b) Ab welchem n weicht der Flächeninhalt des Viertelkreises von den Ergebnissen
fur die Ober- und die Untersumme um höchstens 5 Prozent ab? (Hier lohnt
es sich ein kleines Programm zu schreiben. Bitte Quellcode beifugen.)

Comments

wurde vor ein paar Tagen auch hier

https://www.stacklounge.de/2595

schon beantwortet.

Answer 1

Beispiel für n=5:

5 Teilintervalle heißt: Jedes hat die Länge 0,2

die Grenzen der Teilintervalle sind

0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1

Da f streng monoton fallend ist, bestimmst du die Untersumme durch

die Summation der Produkte 0,2*Funktionswert am rechten Rand:

0,2 *f(0,2) + 0,2* f(0,4) +0,2* f(0,6) + 0,2*f(0,8) + 0,2*f(1)

= 0,2 * ( f(0,2) + f(0,4) + f(0,6) + f(0,8) + f(1) )

≈ 0,2 * ( 0,9798 + 0,9165 + 0,8 + 0,6 + 0 ) = 0,2 * 3,2963 = 0,6593

Ist von pi/4 ≈ 0,7854  noch relativ weit entfernt.

Obersumme entsprechend:

0,2*f(0) + 0,2 *f(0,2) + 0,2* f(0,4) +0,2* f(0,6) + 0,2*f(0,8) ≈ 0,8593