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Uberführen Sie die Differentialgleichung 2. Ordnung y′′+ 5y′+ 6y = 0 in ein entsprechendes
Differentialgleichungssystem y′=Ay.
Berechnen Sie zur Koeffizientenmatrix A eine Eigenvektorbasis, und stellen Sie das Differential-
gleichungssystem in Koordinaten dieser Basis dar.



Den ersten Teil der Aufgabe habe ich gelöst. Ich komme allerdings hier mit den Begriffen durcheinander:

Berechnen Sie zur Koeffizientenmatrix A eine Eigenvektorbasis, und stellen Sie das Differential-
gleichungssystem in Koordinaten dieser Basis dar.

Sind hier auch die Eigenvektoren und Eigenwerte gesucht bzw. der Eigenraum?

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Wennn Du eine Basis aus Eigenvektoren finden sollst, musst Du die Eigenvektoren wohl zuerst ausrechnen. Und Eigenvektoren und Eigenwerte hat man noch nie einzeln gesehen.

Hey

ich habe als charakteristisches Polynom  0 = λ²-5x+6

daraus die Eigenwerte λ1=3 und λ2=2

der Eigenvektor von 3 ist t*(1,3) und der Eigenvektor von 2 ist t*(1,2)


Ist die Eigenvektorbasis {(1,3) ,(1,2)}


Wie geht dieser Schritt? -> stellen Sie das Differential-
gleichungssystem in Koordinaten dieser Basis dar

Meine Differentialgleichungssystem y′=Ay ist:

0
1
-6
-5

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo bahamas,

keine Ahnung, ob das was ich hier erzähle, alles richtig im Sinne der gestellten Aufgabe ist. Aber ich versuche es mal:

Wenn nach der Matrix \(A\) gefragt ist, mit der Eigenschaft \(y'=Ay\), dann bin ich mit Dir konform was \(A\) betrifft:

$$\begin{pmatrix} y'\\y'' \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}$$

das charakteristische Polynom ist aber

$$(0-\lambda)(-5-\lambda) - (-6)\cdot 1= \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$$

mit den Eigenwerten \(\lambda_1=-3\) und \(\lambda_2=-2\), sowie den Eigenvektoren

$$e_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}; \quad e_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

und die Eigenvektorbasis \(E\) ist dann $$E = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

... und stellen Sie das Differentialgleichungssystem in Koordinaten dieser Basis dar.

und dies ist IMHO ein Basiswechsel, wobei \(A\) in die Diagonalmatrix \(D\) überführt wird, dabei gilt:

$$D = E' \cdot A \cdot E = \begin{pmatrix}-3& 0\\ 0& -2\end{pmatrix}$$ $$\text{Bem.: } \space E^{-1} = \begin{pmatrix}2& 1\\ -3& -1\end{pmatrix}$$ In \(D\) sind die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen wieder zu finden, was kein Zufall ist, sondern Methode hat. Sei \(z\) der Zustand des Systems in der Eigenvektorbasis, so ist \(z'=D \cdot z\) und \(y=E \cdot z\); bzw. \(y' = E \cdot z'\). Und warum das alles so ist, habe ich schon versucht in der Antwort zu 'Diagonalisieren eine Matrix' anschaulich zu erklären.

Somit wäre dann das DGL-System \(z' = D \cdot z\)  in den Koordinaten der Basis \(E\): $$\begin{aligned} z' + 3z &= 0 \\ z'' + 2z' &= 0\end{aligned}$$

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