lim x->inf ((x^3+3)/(x^3-3))^{3x}

Question

Bei dieser Aufgabe komme ich auf einen Grenzwert von 9/3=3 mein Lösungsheft sagt mir aber, dass die Lösung 1 sei. 
Mithilfe von exp(ln(...)) hole ich die ^{3x} runter, dann forme ich den Term um und leite nach L'Hospital ab. 

Answer 1

verwende folgende Abschätzung:

1^{3x}<=((x^3+3)/(x^3-3))^{3x}=(1+6/(x^3-3))^{3x}<=(1+1/x^2)^{3x}=((1+1/x)^{x}*(1-1/x)^{x})^3

Nach dem Einschlusskriterium ist

lim x---> ∞ ((x^3+3)/(x^3-3))^{3x} =1

Answer 2

............................

Comments

Aha. Schön!

Beim zweiten Pfeil betrachtest du nur noch den Exponenten.

In der letzten Zeile, dann wieder das Ganze.

lim(_x->undendlich) f(x) = e^0 = 1

Answer 3

Kürze den Bruch mit x^3. Er geht gegen 1.

Answer 4

Geht viellleicht auch so. Zunächst
lim x −> ∞ [ ( x ^3 + 3 ) / ( x^3 - 3 ) ]
L´Hospital
( 3 * x^2 ) / ( 3 * x^2 ) = 1

lim x −> ∞ [ 1 ^{3x } ] = 1

Comments

Nein, das reicht im allgemeinen nicht :

lim x---> ∞ (x+1)/x =1

lim x---> ∞ ((x+1)/x)^{3x}=e^3≠1

Answer 5

$$ \lim_{x \to \infty}\frac{x^3+3}{(x^3-3)^{3x}}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\Big(\frac{x^3}{x^3}+\frac{-3}{x^3}\Big)^{3x}}=\lim_{x \to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^3}}{\Big(1+\frac{-3}{x^3}\Big)^{3x}}\\=\lim_{x \to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^3}}{\Bigg(1+\frac{1}{\frac{-x^3}{3}}\Bigg)^{3x}} $$

$$ \text{Setze  } \beta:=\frac{-x^3}{3} \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{-3\cdot \beta}\quad \text{Dann ist weiter:}$$

$$ =\lim_{\beta \to\infty}\frac{1+\frac{1}{(\sqrt[3]{-3\cdot \beta})^3}}{\Big(1+\frac{1}{\beta}\Big)^{3\cdot \sqrt[3]{-3\cdot \beta}}}=\lim_{\beta \to\infty}\frac{1+\frac{1}{-3\cdot \beta}}{\Bigg(\Big(1+\frac{1}{\beta}\Big)^\beta\Bigg)^{\frac{3}{\beta}\cdot \sqrt[3]{-3\cdot \beta}}}\\=\lim_{\beta \to\infty}\frac{1+\frac{1}{-3\cdot \beta}}{\Bigg(\Big(1+\frac{1}{\beta}\Big)^\beta\Bigg)^{3\cdot \sqrt[3]{\frac{-3}{\beta^2}}}}=\frac{1+0}{\Big(e\Big)^{3\cdot 0}}=\frac{1}{e^0}=1 $$

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EDIT:

Oh mist, habe nur 3x als Exponenten im Nennerterm wahrgenommen. Also hier nochmal

$$\lim_{x \to\infty}\Big(\frac{x^3+3}{x^3-3}\Big)^{3x}=\lim_{x \to\infty}\Bigg(\frac{1+\frac{3}{x^3}}{1-\frac{3}{x^3}}\Bigg)^{3x}=\lim_{x \to\infty}\frac{\Big(1+\frac{3}{x^3}\Big)^{3x}}{\Big(1-\frac{3}{x^3}\Big)^{3x}}\\=\lim_{x \to\infty}\frac{\Bigg(1+\frac{1}{\frac{x^3}{3}}\Bigg)^{3x}}{\Bigg(1-\frac{1}{\frac{x^3}{3}}\Bigg)^{3x}}\\ \text{Setze  } \beta:=\frac{x^3}{3}\quad x=\sqrt[3]{3\cdot \beta}\quad \text{Dann ist weiter:  }\\=\lim_{\beta \to \infty}\frac{\Big(1+\frac{1}{\beta}\Big)^{3\sqrt[3]{3\cdot \beta}}}{\Big(1-\frac{1}{\beta}\Big)^{3\sqrt[3]{3\cdot \beta}}}=\lim_{\beta \to \infty}\frac{\Bigg(\Big(1+\frac{1}{\beta}\Big)^\beta\Bigg)^{\frac{3}{\beta}\sqrt[3]{3\cdot \beta}}}{\Bigg(\Big(1-\frac{1}{\beta}\Big)^\beta\Bigg)^{\frac{3}{\beta}\sqrt[3]{3\cdot \beta}}}\\=\lim_{\beta \to \infty}\frac{\Bigg(\Big(1+\frac{1}{\beta}\Big)^\beta\Bigg)^{3\sqrt[3]{\frac{3}{\beta^2}}}}{\Bigg(\Big(1-\frac{1}{\beta}\Big)^\beta\Bigg)^{3\sqrt[3]{\frac{3}{\beta^2}}}}=\frac{e^{3\cdot 0}}{(e^{-1})^{3\cdot 0}}=1 $$

Answer 6

  Ich bezweifle die Zulässigkeit dieses Vorgehens . Das Standardverfahren:  ===>  Inversion am Einheitskreis

         z  :=  1 / x       (  1  )

                                                  ( 1/z ³ + 3 ) ^  3 / z

       G  (  x  )  =  G  (  z  )  =    ------------------------------------      =         (  2a  )

                                                  ( 1/z ³ - 3 ) ^  3 / z

               ( 1 + 3 z ³ )  ^ 3 / z

    =    --------------------------------------     ;   ===>   z  ===>   0       (  2b  )

                ( 1 - 3 z ³ )  ^ 3 / z

     Nächster Standardschritt;  Logaritmieren

    F  (  z  )  :=  ln  (  G  )  =:  ( 1 / z )  f  (  z  )        (  3a  )

       mit

            f  (  z  )  =  3  [  ln  (  1  +  3  z  ³  )  -  ln  (  1  -  3  z  ³  )   ]       (  3b  )

    Jetzt denk doch mal scharf nach .  F ( z ) in ( 3a ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient  (  DQ  )    der Funktion   f in ( 3b )  -  genommen zwischen z0  =  0  und der beliebigen  Stelle z  . Schlicht und ergreifend, weil  f  (  0  )  =  0  Und was dieser Grenzwert ergibt, das weißt du:  die Ableitung  f  '  (  0  )

                                                   1                              1

      f  '  (  z  )  =  27  z  ²  [    ----------------    -       ---------------   ]  ===>  0       (  3c  )

                                              1 + 3 z ³                  1 - 3 z ³

     So ziemlich alles geht in  ( 3c  )  gegen Null.  Wenn aber F in ( 3a )  , also der Logaritmus gegen Null geht,  so die Ausgangsfunktion G selbst gegen Eins  .

   Ich bring die Anekdote immer wieder; ich erhielt hier mal einen gespielt empörten Kommentar

   " Wenn wir doch solche Aufgaben durch eine transformation lösen können / sollen.  ' Zu Was '  lernen wir eigentlich noch Definitionsbereich? "