ich hatte folgende Aufgabe, wo ich mir bei der Formalität auch sehr unsicher bin, ob ich das richtig gemacht habe:
Überprüfen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation $$R \subseteq \mathbb{Z} x \mathbb{Z}$$ um eine Äquivalenzrelation bzw. Ordnungsrelation handelt?
$$R := \{(m,n) \in \mathbb{Z} x \mathbb{Z} | m^2 = n^2\}$$
Ich habe folgende Lösung geschrieben:
- R ist reflexiv, da mit $$m^2 = n^2$$ folgt, dass $$m = +- n \vee n = +- m$$ und somit $$\{(m,m), (-m, -m), (n,n), (-n,-n)\} \subseteq R$$.
- R ist symmetrisch, da aus $$m^2 = n^2$$ folgt, dass $$m = +-n \vee n = +-m$$ und somit $$\{(m,-m), (n,-n), (-m,m), (-n,n)\} \subseteq R$$.
- R ist nicht antisymmetrisch, da $$(-1,1) \in R$$ und $$(1,-1) \in R$$, aber $$1 \neq -1$$.
- R ist transitiv, weil $$m^2 = n^2 \wedge n^2 = o^2 \Rightarrow m^2 = o^2$$
- R ist somit eine Äquivalenzrelation
Gibts Verbesserungsvorschläge? ;)
Grüße,
Thilo
