Seien n∈N und A∈R^{n×n} mit A^2=0. Zeigen Sie, dass I−A invertierbar ist, wobei I∈R^{n×n} die Einheitsmatrix ist.

Question

die Lösung ist:

A^2 = 0 also:

(I-A) (I+A) = I^2 - A·I + A·I - A^2 =  I^2

-AI und + AI = 0

A^2 = 0

also bleibt I^2 übrig und das soll die Lösung sein...

kann mir jemand das erklären?

Wieso soll jetzt damit gezeigt worden sein, wieso I-A invertierbar ist?

Was hat die komplex konjugation damit zutun?

Was hat das mit det(I-A) != 0 zutun, denn das zeit ja, ob eine matrix invertierbar ist oder nicht?

mfg

Answer 1

(I-A) (I+A) = I^2 - A·I + A·I - A^2 =  I^2

Zuerst    -AI und + AI = 0

Das liegt daran, dass bei der Einheitsmatrix I immer gilt

A*I = I*A also deshalb     -AI und + AI = 0

A^2 = 0  war gegeben

also bleibt I^2 übrig   und es ist I^2 = I , weil eben I

die Einheitsmatrix ist.  Dann wird aus der

ersten Gleichung also  .(I-A) (I+A) = I

Damit ist gezeigt, dass  I-A invertierbar ist ; denn es gibt eine

zweite Matrix ( hier I+A) die mit I-A multipliziert die

Einheitsmatrix ergibt. Das heißt ja "invertierbar".

Was hat die komplex konjugation damit zutun?   Nix, es

handelt sich ja um eine reelle Matrix.

Was hat das mit det(I-A) != 0 zutun, denn das zeit ja,

ob eine matrix invertierbar ist oder nicht?  Eben, und es gilt

X invertierbar <=>  det(X) ≠ 0

Da I-A invertierbar ist, gilt also det(I-A) ≠ 0.

Answer 2

Hallo Knigtfire,

(I-A) · (I+A)  = (I+A) · (I-A)  = ...  =  I²  = I    

[ Da ℝ ein Körper ist, genügt auch (I-A) · (I+A)  = I  ]

Deshalb ist bereits laut Definition 

https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix#Definition

I+A  =  (I-A)^-1    (und umgekehrt)

Gruß Wolfgang

Answer 3

  Ich will dem ganzen Firlefanz mal bissele steuern.    Hier ist nämlich ein Streit entbrannt,  ob ihr alle wisst, dass sich hinter dem Kern  einer Matrix nix weiter verbirgt  als ihr  EIGENRAUM ZUM EIGENWERT  NULL .

  Weil die es wissen, schicken mir Kommentare, bei den anderen sei eh alles zu spät ...

   Langfristig gesehen wäre es gar nicht verkehrt, wenn du dich mit  ===> Elementarteilern  (  ET  )   anfreunden könntest .  Aber nur wenn du es mit deiner Karriere vereinbaren kannst.

   In der Oper "  Die Pilger von Mekka "  von Christoph Willibald -  übrigens auch " Ritter von "   gibt es eine Arie

   " Unser dummer Pöbel meint. "

   Weil ist das nicht witzig?    ET sind der Art kompliziert, dass breiteste Volksmassen sie für Außerirdisch halten ...

   Mit Matrizen kommen Viele ja durch die Computerei in Berührung .  Der Film  " Matrix "  greift aber genau auf, was vorher eine Meinungsbefragung ergeben hat:

   Der kleine Mann auf der Straße stellt sich vor, hinter einer Matrix verstecke sich ein INSTRUMENT VON MACHTMISSBRAUCH UND MANIPULATION .  Das war aber nie gemeint .

   Als Erstes mach dir bitte klar.  Wenn eine Matrix  A  ===>  NILPOTENT  ist - ganz gleich zu welcher Potenz  - dann kann sie gar keinen anderen Eigenwert haben als Null . Beweis

    (E)  k  |  A  ^   k  =  0       (  1  )

    Sei jetzt x ein Eigenvektor zum Eigenwert E  Dann folgt doch aus  (  1  )

          E  ^   k   x  =  0  ===>  E  =  0       (  2  )

    Als Nächstes  muss du überlegen, dass die Einheitsmatrix mit jeder Matrix vertauscht - dem zu Folge auch mit A  .

  SÄMTLICHE  EIGENVEKTOREN VON  A  SIND AUCH EIGENVEKTOREN  DER EINHEITSMATRIX  .

    Nächster Schritt; sei jetzt mal  A eine beliebige Matrix  und E einer ihrer Eigenwerte .  Dann hat doch  1|  -  A  den eigenwert  1  -  E  .  so weit klar?

   Nun war A aber nilpotent und E gleich Null ===>  1|  -  A  hat ausschließlich Eigenwerte  Eins .

   wir halten fest: eine Matrix ist singulär genau dann, wenn sie einen Eigenwert Null hat

   ( Wir sagten schon: Der Kern ist ihr Eigenraum zum Eigenwert Null . )

   Da aber 1|  -  A keinen Null_eigenwert hat, ist sie  INVERTIERBAR  .

   ein typischer Schluss aus  AGULA  und   algebra .