Kern. Bestimmen Sie eine Basis von ker(P).

Question

Hier ist die ganze Aufgabe und es geht nur um die c. um die Basis genauer gesagt.

Gegeben ist die Ebene
$$E: 3x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$$
in ℝ³.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von E.
b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung P der Orthogonalprojektion auf die Ebene E bezüglich der kanonischen Basis des ℝ³.
c) Bestimrnen Sie Rang(P) und eine Basis von ker(P).

Ich habe P ausgerechnet und das ist richtig, da die "Musterlösung" die ich habe auch so ist.

P=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 6 & 10 & 2 \\ -3 & 2 & 13  \end{pmatrix} 

$$P=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 6 & 10 & 2 \\ -3 & 2 & 13 \end{pmatrix}$$

Die Dreiecksform ist wie folgt und hieraus erkennt man, dass der Rang = 2 ist.

$$P=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 0 & 14/5 & 28/5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Es geht um eine Basis von ker(P) wie oben schon erwähnt.

Ich habe für x_3 in dieser Kern-Matrix $\lambda$ genommen.

Dadurch ist x_1 = -9/5 $\lambda$ und x_2 = 2$\lambda$.

Meine Lösung ist: ker(P) = {$\lambda * \begin{pmatrix} -9/5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$}

Stimmt das oder geht das bei Projektionen anders? Denn in der Lösung haben die einfach den Nomralenvektor der Ebene E genommen. also $\lambda$·$\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Answer 1

Hallo

Das bei senkrechter Projektion, der Normalenvektor der Eben auf 0 abgebildet wird ist einfacher als P*x=0 zu rechnen, aber das geht natürlich auch, nur hast du einen Fehler beim rechnen gemacht dein P*ker(p)ist nicht 0 sondern (0, 84/5,0)

 also rechne richtig und du bekommst einen Vektor raus der bis auf nen Faktor eben der Normalenvektor ist.

Gruß ledum

Comments

was meinst du mit P*ker(p)ist nicht 0? ich habe keine 0 als lösung...

meinst du also mein weg ist richtig. aber ich habe mich verrechnet?

ok ich habe verstanden, dass man den normalenvektor von E erhält... aber ich kann mir das bestimmt nicht merken... ich rechne also lieber manuell nen vektor aus xD

wo genau kommt (0, 84/5,0) raus? ich hab nicht ganz verstanden, was du meinst.

mfg.

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Hallo

 du hast dich verrechnet. wenn du deinen gefundenen Vektor mit P multiplizierst kommt nicht 0 raus! mach es selbst.

Gruß lul

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ok es kommt nicht 0 raus und ich habs falsch gemacht...

wie geht das richtig?

was meinst du mit "mach es selbst"? ok ich habs ja nachgerechnet und ja da kommt nicht 0 raus...

ich habe meine rechnung kontrolliert... da ist kein fehler... ich glaube mein weg ist allgemein falsch...

mfg

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Hallo

1) 5x+6y-3z=0

2) 14y+28z=0 -> y=-2z in 1 eeingesetzt

5x-12z-3z=0  ->x=3z

z beliebig wählen, ungleich 0 aalso etwa z=1

ergibt (3,-2,1)

wo du deinen Fehler gemacht kann ich ohne deine Rechnung nicht sehen.

Gruß lul

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ok habs verstanden

danke sehr :)

Answer 2

  Deine Ebene lautet

    E  (  x1  ;  x2  ;  x3  )  =  3  x1  -  2  x2  +  x3  =  const       (  1a  )

    Ihr Normalenvektor ist natürlich

   grad  (  E  )  =  [  ( dE/dx1 )  |  ( dE/dx2 )  |  ( dE/dx3 )  ]     =  (  1b  )

                       =  (  3  |  -  2  |  1  )       (  1c  )

   Du tust also einfach die Koeffizienten aus ( 1a ) abschreiben .

   Der Kern ist immer der Eigenraum zum Eigenwert Null; ist dir das zufällig geläufig?  Ich habe das nachgeprüft; von Daher stimmt der Normalenvektor auch mit deinem Kern überein .

    Ferner ist eine ortogonale Projektion auch Hermitesch - und das ist ja auch der Fall .  Nur eben . sie sollte das Polynom befriedigen  P "  =  P  , so dass deine Ebene der Unterraum zu eigenwert Eins wird .   Ich hab den Online Rechner gestartet; bei dir ist dieser zweite Eigenwert - seltsam genug  - gleich 14 .

   Sp  (  P  )  =  5  +  10  +  13  =  2  *  14       (  2  )