Flächensätze und Ähnlichkeit: Berechne den Schenkel und die Fläche des Dreiecks

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Flächensätze und Ähnlichkeit: Berechne den Schenkel und die Fläche des Dreiecks

Werner-Salomon · Answer 1 · 2018-08-01T18:17:51+0000

Hallo Tobo,

Deine Frage ist zwar nun schon einen Tag her, aber auf der Suche nach ähnlichen Dreiecken bin ich fündig geworden. Und das wollte ich Dir zeigen:

Fällt man vom Mittelpunkt $M_a$ der Seite $a$ das Lot auf $c$, so erhält man den Fußpunkt $Q$. Nun sind die Dreiecke $\triangle H_cBC$ und $\triangle QBM_a$ ähnlich. Und da $M_a$ die Seite $a$ teilt, teilt auch $Q$ die Strecke $H_cB$. Weiter ist $|QM_a|=h/2$. Im gleichschenkligen Dreieck (mit Spitze in $C$) fällt $H_c$, der Höhenfußpunkt, mit $M_c$, dem Mittelpunkt der Seite $c$, zusammen. Daher ist $$|AQ| = \frac34 c$$ nach Pythagoras ist im Dreieck $\triangle AQM_a$ $$s_a^2 = \left( \frac34 c\right)^2 + \left( \frac12 h\right)^2 \\ \Rightarrow \space h = \sqrt{4 s_a^2 - \frac94 c^2}$$

Also ist der Flächeninhalt $F$ des Dreiecks $$F = \frac12 hc = \frac12 \sqrt{4 s_a^2 - \frac94 c^2} \cdot c = \frac12 \sqrt{196} \cdot 32 \text{cm}^2 = 224 \text{cm}^2$$ und die Länge eines Schenkels ist $$a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{1}{2}c\right)^2} = \sqrt{4s_a^2 - 2 c^2} = 2\sqrt{113} \text{cm} \approx 21,3 \text{cm}$$ Gruß Werner

racine_carrée · Answer 2 · 2018-07-31T14:46:22+0000

Die Rechnung gilt unter der Prämisse, dass $c=32cm$ die Grundlinie ist!

Suche dir die Formel für die Seitenhalbierende heraus:$$s_a=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}$$ Wir haben aber $a=b$, also:$$s_a=\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-a^2}}{2}$$ Stelle nach $a$ um, um die Lösung zu erhalten:$$25=\frac{\sqrt{2(a^2+32^2)-a^2}}{2} \quad |\cdot 2$$$$50=\sqrt{2a^2+2\cdot 32^2-a^2} $$$$50=\sqrt{a^2+2048} \quad |(...)^2 $$$$2500=a^2+2048 \quad |-2048$$$$a^2=452 \quad |\sqrt{}$$$$a=2\sqrt{113} $$ Der Flächeninhalt berechnet sich aus:$$A=\frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}$$$$A=\frac{32}{2}\sqrt{(2\sqrt{113})^2-\frac{32^2}{4}}=224cm$$

Flächensätze und Ähnlichkeit: Berechne den Schenkel und die Fläche des Dreiecks

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