Skat ist ein Kartenspiel für drei Personen
Man "triumphiert" mit den vier Buben und den restlichen 7 Herzkarten. Insgesamt also 11 Trumpfkarten von 32
Erwartungswert:
Der Erwartungswert ist durch \(E(X)=\sum_{i=1}^{n}{x_i}\cdot P(X=x_i)\) definiert, wir haben also für die verschiedenen \(x_1, x_2, x_3,...,x_n\) folgende Wahrscheinlichkeiten:$$P(X=x_i)=\frac{\begin{pmatrix} 11 \\ x_i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}32-11 \\ 10- x_i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 32\\ 10 \end{pmatrix}}$$ Zur Kontrolle, ich erhalte den Erwartungswert:$$E(X)=1\cdot 0.05012+2\cdot 0.1735+3\cdot 0.2974+4\cdot 0.2776+5\cdot 0.14573+6\cdot 0.04286+7\cdot 0.0068+8\cdot 0.000537+ 9\cdot 0.0000179+10\cdot 1.7051\cdot 10^{-7}$$$$E(X) = 3.43759$$ Wenn du ganz cool sein willst, du kannst es auch mit Summenzeichen schreiben, um Eingabe im Taschenrechner zu sparen und natürlich auch weniger Schreibarbeit:$$E(X)=\sum_{x_i=1}^{10}{\left(x_i\cdot \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ x_i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 32-11 \\ 10-x_i \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 32 \\ 10 \end{pmatrix}}\right)}$$ Man kann also fast 4 Buben pro Austeilung erwarten.
Varianz
Die Varianz ist definiert durch \(\mathrm{Var(X)} = \sum_i (x_i - \mu_{X})^2 \cdot P(X = x_i)\). Daraus folgern wir:$$Var(X)=(1-3.43759)^2\cdot 0.05012+(2-3.43759)^2\cdot 0.1735\quad \text{etc.}$$
