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Hallo

Analysis Klausur 02.02.2018 Aufgabe 2.png

limn2n+1(n+1)!(2(n+1))!(2n)!2nn! \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(2(n+1))!}\frac{(2n)!}{2^nn!}

limn2(n+1)(2n)!(2(n+1))! \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2(n+1)(2n)!}{(2(n+1))!}

Erstmal richtig so ? Wie kürze ich nun weiter ?

Fakultäten kürzen fällt mir sehr schwer

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Vielen Dank schonmal.

Wie komme ich von (2(n+1))!(2(n+1))! zu (2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)!(2n+1)(2n+2) ?

Erweitere mit Hilfe von n!=n(n1)!n!=n\cdot (n-1)!.

Ich muss gestehen, dass ich immernoch nicht sehe, wie das genau aufzulösen ist..

(2(n+1))! ---> (2n+2)!

Wir wissen, dass n!=n*(n-1)!:

=(2n+2)*(2n+1)!    Hier nochmal anwenden

=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!

Vielen Dank für die Hilfe !

zu Deiner Frage: Wie komme ich..

=(2n+2)!

(2n+2)!=(2n+2)⋅(2n+1)⋅2n⋅(2n−1)⋅(2n−2)⋯2⋅1

2n *(2n−1)⋅(2n−2)⋯2⋅1= (2n)!

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Wir untersuchen die Summen=12nn!(2n)!\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n\cdot n!}{(2n)!}} auf deren Konvergenz:an+1an=2n+1(n+1)!(2(n+1))!(2n)!2nn!\bigg |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg |=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{(2(n+1))!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!} Das lässt sich weiter kürzen mit Hilfe von n!=n(n1)!n!=n\cdot (n-1)!:=2n+1(n+1)n!(2n+1)(2n)!(2n)!2nn!=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!} Nun kannst du locker easy kürzen:2n+1(n+1)n!(2n+2)!(2n)!2nn!\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!} Erweitere den Nenner des ersten Bruchs mit n!=n(n1)!n!=n\cdot (n-1)! und erhalte:=2n+1(n+1)n!(2n+2)(2n+1)(2n)!(2n)!2nn!=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!} Kürze nun den Bruch:=2(n+1)(2n+2)(2n+1)(2n)!(2n)!=\frac{2(n+1)}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot (2n)! Klammere aus und kürze weiter:=2(n+1)2(n+1)(2n+1)=\frac{2(n+1)}{2(n+1)\cdot (2n+1)}=12n+1=\frac{1}{2n+1} Nun den Grenzwert berechnen:lim supn12n+1\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}lim supnn1nn(2+1n)\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{n\cdot \frac{1}{n}}{n\cdot \left(2+\frac{1}{n}\right)}lim supn02+0=0\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{0}{2+0}=0

Das heißt, dass die Reihe absolut konvergiert.

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So, ich hatte eben einen Fehler drin. Nun stimmt alles.

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