Hallo
limn→∞2n+1(n+1)!(2(n+1))!(2n)!2nn! \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(2(n+1))!}\frac{(2n)!}{2^nn!}n→∞lim(2(n+1))!2n+1(n+1)!2nn!(2n)!
limn→∞2(n+1)(2n)!(2(n+1))! \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2(n+1)(2n)!}{(2(n+1))!}n→∞lim(2(n+1))!2(n+1)(2n)!
Erstmal richtig so ? Wie kürze ich nun weiter ?
Fakultäten kürzen fällt mir sehr schwer
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Vielen Dank schonmal.
Wie komme ich von (2(n+1))!(2(n+1))!(2(n+1))! zu (2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)!(2n+1)(2n+2) ?
Erweitere mit Hilfe von n!=n⋅(n−1)!n!=n\cdot (n-1)!n!=n⋅(n−1)!.
Ich muss gestehen, dass ich immernoch nicht sehe, wie das genau aufzulösen ist..
(2(n+1))! ---> (2n+2)!
Wir wissen, dass n!=n*(n-1)!:
=(2n+2)*(2n+1)! Hier nochmal anwenden
=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!
Vielen Dank für die Hilfe !
zu Deiner Frage: Wie komme ich..
=(2n+2)!
(2n+2)!=(2n+2)⋅(2n+1)⋅2n⋅(2n−1)⋅(2n−2)⋯2⋅1
2n *(2n−1)⋅(2n−2)⋯2⋅1= (2n)!
Wir untersuchen die Summe∑n=1∞2n⋅n!(2n)!\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n\cdot n!}{(2n)!}}∑n=1∞(2n)!2n⋅n! auf deren Konvergenz:∣an+1an∣=2n+1⋅(n+1)!(2(n+1))!⋅(2n)!2n⋅n!\bigg |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg |=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{(2(n+1))!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=(2(n+1))!2n+1⋅(n+1)!⋅2n⋅n!(2n)! Das lässt sich weiter kürzen mit Hilfe von n!=n⋅(n−1)!n!=n\cdot (n-1)!n!=n⋅(n−1)!:=2n+1⋅(n+1)⋅n!(2n+1)⋅(2n)!⋅(2n)!2n⋅n!=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}=(2n+1)⋅(2n)!2n+1⋅(n+1)⋅n!⋅2n⋅n!(2n)! Nun kannst du locker easy kürzen:2n+1⋅(n+1)⋅n!(2n+2)!⋅(2n)!2n⋅n!\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}(2n+2)!2n+1⋅(n+1)⋅n!⋅2n⋅n!(2n)! Erweitere den Nenner des ersten Bruchs mit n!=n⋅(n−1)!n!=n\cdot (n-1)!n!=n⋅(n−1)! und erhalte:=2n+1⋅(n+1)⋅n!(2n+2)⋅(2n+1)⋅(2n)!⋅(2n)!2n⋅n!=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}=(2n+2)⋅(2n+1)⋅(2n)!2n+1⋅(n+1)⋅n!⋅2n⋅n!(2n)! Kürze nun den Bruch:=2(n+1)(2n+2)⋅(2n+1)⋅(2n)!⋅(2n)!=\frac{2(n+1)}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot (2n)!=(2n+2)⋅(2n+1)⋅(2n)!2(n+1)⋅(2n)! Klammere aus und kürze weiter:=2(n+1)2(n+1)⋅(2n+1)=\frac{2(n+1)}{2(n+1)\cdot (2n+1)}=2(n+1)⋅(2n+1)2(n+1)=12n+1=\frac{1}{2n+1}=2n+11 Nun den Grenzwert berechnen:lim supn→∞12n+1\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}n→∞limsup2n+11lim supn→∞n⋅1nn⋅(2+1n)\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{n\cdot \frac{1}{n}}{n\cdot \left(2+\frac{1}{n}\right)}n→∞limsupn⋅(2+n1)n⋅n1lim supn→∞02+0=0\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{0}{2+0}=0n→∞limsup2+00=0
Das heißt, dass die Reihe absolut konvergiert.
So, ich hatte eben einen Fehler drin. Nun stimmt alles.
Ein anderes Problem?
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