Ableitung von x*a (Produktregel)

Question

ich habe aus einer Ableitungsaufgabe einmal den Aufgabenteil x*a herausgezogen.

Laut Lösung ist das Ergebnis hierfür a. Die Produktregel würde aber folgendes besagen:

f(x) = u*v  --> f'(x) = u' * v + v' *u

x abgeleitet : 1

a abgeleitet: 1

1*a + 1*x = a+x

Warum ist das Ergebnis demnach nicht a+x sondern a?

Danke an jeden der antwortet :D

Answer 1

a ist nur eine Konstante und fällt beim Ableiten weg, da sie 0 wird.

Dann ist $$(a\cdot x)'=a'\cdot x+a\cdot x'=0\cdot x+a\cdot 1=a$$

Comments

Müsste man a nicht so ableiten? :

f(x) = a

f(x) = a¹

f'(x) = 1* a⁰

f'(x) = 1*1 = 1

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Wena a eine Variable wäre, könnte das stimmen. Aber a ist eine kONSTANTE:

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Nein, du leitest hier aufeinmal nach a ab, obwohl das Argument x ist. Deins wäre nur richtig, wenn a das Argument wäre. Und außerdem wendest du hier nicht die Produktregel an, sondern die Potenzregel, die aber bei deiner Aufgabe auch geht.

Richtig angewandt und aufgeschrieben sieht das dann so aus:

$$f(x)=a\cdot x=a\cdot x^1\\f'(x)=a\cdot 1\cdot x^{1-1}=a\cdot x^0=a\cdot 1=a$$

Answer 2

Wenn du nach $x$ ableitest, dann ist das ableiten linear:$$f(x)=ax$$$$=1a$$ Wenn du nach $a$ ableitest, dann erhältst du $x$.

Merke hierzu:

Die Ableitung einer Konstanten ist null:$$f(x) = C \quad \rightarrow \quad f'(x) = 0$$Die Ableitung von  $x$ ist $1$.$$f(x) = x \quad \rightarrow \quad f'(x) = 1$$

Comments

Habs verstanden :) Vielen Dank für die Antwort

Answer 3

Es gilt die Konstantenregel
f ( x ) = Konstante * x
f ´( x ) = Konstante * ( x ´ )
f ´( x ) = Konstante * 1
f ´( x ) = Konstante

Merke
Eine Konstante bleibt beim ableiten erhalten.

Noch ein Beispiel
f ( x ) = π * x²
f ´( x ) = π * ( x² ) ´
f ´( x ) = π * 2 * x¹
f ´( x ) = 2π * x

Üblicherweise werden die Grundregeln
fürs Ableiten in folgender Reihenfolge
im Unterricht gelehrt

Konstantenregel
Potenzregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel

Comments

Die Verwendung des Begriffs "Konstantenregel" ist wegen der fehlenden Eindeutigkeit alles andere als glücklich. "Faktorregel" oder "Regel vom konstanten Faktor" wäre eindeutig besser.

In f(x) = a*x ist a ebenso konstant wie in f(x) = a und dummerweise werden gelegentlich die zuständigen Ableitungsregeln gleichermaßen als "Konstantenregel" bezeichnet. Das sollte man natürlich vermeiden und kann es ja auch.