Steigungswinkel bei beiden Nullstellen bestimmen - Problem: Beta ist positiv, Alpha ist negativ.

Question

Aufgabe:

Ich soll die Schnittwinkel bei den Nullstellen berechnen.

α bei N₁( 0 I 0 )
β bei N₂( ln5 I 0 )

1. Wir fangen mit β an: 

f'( ln5 ) = 20 (Positiver Wert!)
tanβ = 20 
β = tan^-1(20) = 87,14° 

2. Das Problem mit α: 
f'( 0 ) = -4 (Negativer Wert!)
α = tan^-1(-4) = -75,96°

Frage:

Ich weiss, dass der Winkel α sich mit dem negativen Vorzeichen im Einheitskreis nun im Uhrzeigersinn dreht, trotzdem wollte ich Fragen,

(a) welchen Winkel mir das negative Ergebnis anzeigt und
(b) ob ich 180° oder 360° addieren muss um an den "normalen" Winkel zu kommen ?  

Comments

Da musst du deinen Lehrer fragen, ob Schnittwinkel (zur x-Achse) nur betragsmäßig angegeben werden sollen oder vollständig. Es ist eben ein gewaltiger Unterschied, ob man im Winkel von + oder -45° schneidet. Das machst du dir am besten anhand von linearen Funktionen klar:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x,-x

Answer 1

Nimm den Betrag vom Winkel, denn der negative Wert ist betragsmäßig dein Schnittwinkel. Also $$ \alpha = |\tan^{-1}(-4)|\approx 75,96°$$

Comments

Also immer wenn ich den Winkel einer negativen Steigung berechne, nehme ich den Betrag?

Ich frage weil ich auch schon +180 aber auch +360 gesehen habe.

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Hier halt auf jeden Fall. Denn theoretisch kannst du ja ein Minus vor die ganze Funktion setzen. Dadurch wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt. Wenn du jetzt noch die Steigung berechnest, ist sie zahlenmäßig auch positiv. Aber mit dem Betrag ist man beim Schnittwinkel immer auf der sicheren Seite. Wenn du vielleicht noch später den Schnittwinkel zweier sich schneidender Funktion in einem Punkt berechnen sollst, brauchst auch den Betrag, da sonst auch mal gerne ein Wert α > 90° rauskommen kann und man nachträglich 180°-α rechnen müsste.

Und wo hast du zB gesehen, dass man 180 oder 360 dazuaddiert hat?

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Also immer wenn ich den Winkel einer negativen Steigung berechne, nehme ich den Betrag?

Ich denke, dass es im Prinzip keinen negativen Winkel gibt. Es kommt immer darauf an, von wo man es betrachtet. Eine Bewegung nach hinten ist auch keine negative Bewegung.

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@rc: Du unterscheidest im Koordinatensystem auch positive und negative Steigung. Es gibt im Koordinatensystem Standards, wie Winkel zu messen sind, damit Steigungswinkel angeben, ob die Steigung positiv oder negativ ist.

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Und wo hast du zB gesehen, dass man 180 oder 360 dazuaddiert hat?

Aus einem Beitrag her im Forum. :-/

Link: https://www.mathelounge.de/55408/steigungswinkel-bei-negativer-steigung

Ich bin etwas verwirrt, weil ich eben von so vielen Möglichkeiten höre,
mein Lehrer hat gesagt ich soll 180° dazu addieren. 

Bei einem Test, hab ich das nicht gemacht und dann hat er auf der Prüfung hingeschrieben, dass der spitze Winkel gesucht ist und nicht der stumpfe. 

Womöglich habe ich eben bei so einer negativen Steigung in derselben Prüfungsaufgabe den Winkel so belassen, also weder 180°,360° addiert und auch nicht den Betrag genommen.  

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Es kommt halt auf den Kontext der Problemstellung an. So macht es in einigen Fällen durchaus Sinn 180° dazu zu addieren. Mal ein plumpes Beispiel. Du hast ein Dreieck

Nun sollst du - warum auch immer - den Winkel α' ausrechnen. Du hast aber zunächst α ausgerechnet. Nun bildest du die Differenz 180°-α=α' , womit du α' erhalten hast.

Oder du hast - wie im Link - einen Kreis. Dort ist der Winkel negativ. Du willst aber einen Winkel haben, der diesen Winkel als positive Zahl ausdrückt. Hier bildet man dann die Differenz

360°-β=β'.

Oder eine Turbinenschaufel steht so, dass sie mit einer Waagerechten einen negativen Winkel von -45° einschließt. Nun kommt etwas Wind, sodass sich die Turbine langsam gegen den Uhrzeigersinn dreht. Nach genau einer Umdrehung - was für ein Zufall - kommt sie zum stehen. Das Turbinenblatt hat eine 360°-Drehung gemacht.

Aber wie gesagt, wann man was wie dazuaddiert, hängt zu sehr vom Kontext ab. Ansonsten den Lehrer fragen, wie er sich das so vorstellt.

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Ok, wenn ich wüsste, welchen Winkel ich bekomme wenn ich den arcustangens auf eine negativen Zahl anwende, könnte ich wie gross die anderen anliegenden Winkel sind selbst irgendwie herausfinden.

Gibt es hierzu eine Möglichkeit herauszufinden, welchen Winkel ich bekomme wenn ich eben arcustan(x<0) anwende ?

Vielen Dank für die obigen Ausführungen noch ! :)

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Also ich habe Winkel eigentlich immer positiv angegeben, bzw. wurde es mir nie vorgeworfen, das zu tun. Denn in meinen Augen fand ich es halt für die Vorstellung einfacher. Und wenn ich die Aufgabe (deine von Oben) gemacht hätte, dann hätte ich einfach den Betrag vom arctan genommen.

Answer 2

Die Winkel im Koordinatensystem sind

             90

180     ---|---      0 / 360 °

            270

Dies dürfte bekannt sein.
Die Winkel sind positiv und werden gegen
den Uhrzeigersinn gezählt.

Ist ein berechneter Winkel größer 360 ° oder
kleiner 0 ° wird der Winkel meist zwischen 0 und 360 ° skaliert

Beispiel
410 ° - 360 ° −> 50 °
-30 ° +  360 ° = 330 °

Dein Beispiel
20  −> 87.14 °
-4  −> - 75.96 oder 360 - 75.96 = 284.04 °
( Tippe ich in meinen Taschenrechner 284.04 ° ein
erhalte ich die Steigung / tan = - 4 )

Answer 3

Damalige Diskussion. Es ist eine Definitionsfrage.

https://www.mathematik-oberstufe.de/analysis/lin/gerade2d-steigungswinkel.html

https://www.mathelounge.de/55408/steigungswinkel-bei-negativer-steigung

Ich habe dort meinen damaligen Kommentar (jetzt Antwort) etwas ergänzt.

Gibt es hierzu eine Möglichkeit herauszufinden, welchen Winkel ich bekomme wenn ich eben arcustan(x<0) anwende ?

Dann bekommt du immer einen Winkel zwischen -90° und 0°. Der Arkustangens ist so definiert. Wenn du etwas im 2. statt im 4. Quadranten angeben musst/willst, musst du 180° addieren.

Definition von Arkustangens: https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#Eigenschaften

Achte auch darauf, ob nach einem Schnittwinkel oder nach einem Steigungswinkel gefragt ist. Ich würde bei Schnittwinkel einen positiven spitzen Winkel und bei Steigungswinkel einen negativen spitzen Winkel angeben. Der erste Link in ein Schulbuch enthält viele Bilder und macht auch den Unterschied von Schnittwinkel und Steigungswinkel.

Answer 4

(1) Betrachten wir zunächst den Steigungswinkel eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle, also den Steigungswinkel der Tangente dort. Es gilt der Zusammenhang \(m=\tan(\alpha)\), der sich auflösen lässt zu \(\alpha=\arctan(m)\). Die übliche Definition von \(\arctan()\) liefert dann Werte \(-90^\circ < \alpha < +90^\circ\). Dies entspricht auch den üblichen Implementierungen auf Rechenmaschinen. Da so das Vorzeichen der Steigung dem Vorzeichen des Steigungswinkels entspricht, ist diese Definition praktisch und anschaulich und ich würde sie, insbesondere im Zusammenhang mit der vorgelegten Aufgabe, vorziehen.

(2) Betrachten wir nun im Unterschied dazu den Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen, also den Schnittwinkel ihrer Tangenten bzw. den Schnittwinkel zweier Geraden. Hier wird definiert:
$$\tan(\alpha) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2}\right|$$Dies lässt sich wieder auflösen zu
$$ \alpha = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2}\right|\right)$$Damit bekommen wir Werte \(0^\circ \le \alpha < +90^\circ\), was in diesem Fall auch sinnvoll ist.

(3) Es gibt noch weitere, hiervon abweichende, Festlegungen für "Winkel in irgendwelchen Zusammenhängen". :-)