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Die Aufgabe lautet wie folgt:

Löse folgendes Integral:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\left(x^3-x^2-1\right)}{\left(x^2-x-2\right)} \text{d}x$$


Es handelt sich um ein unbestimmtes Integral

Ich habe schon so viel versucht, z.B.:

\((x^3-x^2-1) \cdot \ln(x^2-x-2)\), doch dann habe ich wegen partieller integraton einen immer längeren Term.

MfG

f(x) = (x^3 - x^2 -1)/(x^2 - x- 2)

Avatar von

Hast du schon versucht

f(x) = (x^3 - x^2 -1)/(x^2 - x- 2)

zu vereinfachen?

1. Polynomdivision mit Rest.

2. vielleicht noch faktorisieren und kürzen

Dann die Summe integrieren.

Bei deinem Beispiel könnte erst mal Folgendes herauskommen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+(x%5E3+-+x%5E2+-1)%2F(x%5E2+-+x-+2)

Skärmavbild 2018-08-13 kl. 18.17.36.png

Nun noch integrieren.

Es handelt sich um ein unbestimmtes Integral

Das tut es nicht. Es ist ein uneigentliches Integral. Die obere Grenze ist Unendlich, außerdem liefert der Integrand mit seiner Polstelle \(x=2\) im Integrationsintervall eine Unendlichkeitsstelle.

Der Hinweis auf "unbestimmtes Integral" bezieht sich wohl nur darauf, dass bei der Vorauswahl des Latex-Integrals die Grenzen mit angegeben werden, hier aber nicht gebraucht werden ;).

4 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Hi,

Mach erstmal eine Polynomdivision ;).


$$\frac{x^3-x^2-1}{x^2-x-2} = x + \frac{2x-1}{x^2-x-2}$$

Den ersten Summanden kann man nun gut integrieren. Bei letzterem sollte man sich an die Regel \(\int\frac{f'}{f} = \ln(f)+c\) erinnern.


Damit ergibt sich dann direkt:

$$\frac{x^2}{2} +  \ln(x^2-x-2) + c$$


Grüße

Avatar von 140 k 🚀

Genau so steht es auch auf integralrechner.de

Doch wenn ich eine Polynomdivision mit der Nullstelle 1,47 mache bekomme ich einen Rest.

Dass Du einen Rest bekommst, ist nicht weiter verwunderlich. x = 1,47 ist nur ein Näherungswert.

Warum willst Du aber eine Polynomdivision mit (x - 1,47) machen? Das ist ein anderes Kapitel.

Hier direkt die Division ausführen, wie sie bereits dasteht ;).

+1 Daumen

Mache eine Polynomdivision und

zerlege den Nenner des Restes  in (x+1)(x-2)  und .

Gibt mit Partialbruchzerlegung dann

x  +  1/(x+1)   +   1/(x-2)

Das sollte leicht zu integrieren sein.

Avatar von 287 k 🚀
+1 Daumen

du brauchst hier gar keine Stammfunktion finden. Es ist lim x---> ∞ f(x) =∞, das Integral existiert also gar nicht.

PS: man integriert sogar noch über eine Nullstelle des Nenners hinweg, schlimmer gehts nimmer ! ;)

Avatar von 37 k
+1 Daumen

hier nun der 2. Teil der Aufgabe,den Du sollst es ja anscheinend berechnen:

C2.gif

Avatar von 121 k 🚀

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