Bestimmen Sie a, b und f so, dass die DGL die folgenden Lösungen besitzt.

Question

es geht um die folgende Aufgabe:

Ich habe keinerlei Lösungen davon. Aber habe die folgende Idee:

z.B. y_1.

setze ich das für y(t) oben ein und die ableitung für y' usw... wie gehts aber danach weiter?

2 + $\alpha$*2t+ $\beta$*t^2=f(t)

mfg

Comments

genau so hatte ichs auch vor... ist das aber richtig so? was meinst du mit "vorschlag"... ein möglicher weg oder bist du dir unsicher? :D

ich kann das nicht nachkontrollieren.

aber wenn ich die neu entstandene dgl löse kommt folgendes: hat aber mit den gegebenen lösungen nix zutun...

y(x)=ae^2x+b+x²

zum vergleich: https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%27%27(x)-2y%27(x)%3D2-…

mfg

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Vorschlag, weil ich eigentlich keine Ahnung von DGLs habe...

Deine Lösung hat aber sehr wohl was mit den gegebenen Lösungen zu tun. Die reellen Parameter a und b kannst du ja beliebig wählen. Z.B. erhältst du für alle a=1, b=1 die Lösung y3 etc.

Answer 1

Vorschlag:

Mach das gleiche mal für $y_2, y_3$. Dann erhältst du

$$f(t) = 2 +2\alpha t + \beta t^2 + (4+2\alpha +\beta) e^{2t}$$

Und

$$f(t) = 2+\beta +2\alpha t + \beta t^2 + (4+2\alpha +\beta) e^{2t}$$

Das ist ein Gleichungsystem mit drei Unbekannten

$$f(t) = 2+2\alpha t + \beta t^2 \\f(t) = 2+2\alpha t + \beta t^2 + (4+2\alpha +\beta) e^{2t}\\ f(t) = 2+\beta +2\alpha t + \beta t^2 + (4+2\alpha +\beta) e^{2t}$$

3. Zeile minus 2. ergibt $\beta = 0$.

2. Zeile minus 1. ergibt $4+2\alpha +\beta =0$ also $\alpha = -2$

Dann ist $f(t)= 2 - 4t$ bzw. die DGL:

$$y''(t) -2 y'(t) = 2-4t$$

Comments

"Deine Lösung hat aber sehr wohl was mit den gegebenen Lösungen zu tun. Die reellen Parameter a und b kannst du ja beliebig wählen. Z.B. erhältst du für alle a=1, b=1 die Lösung y3 etc."

stimmt. daran habe ich nicht gedacht...

vielen dank!

Answer 2

Dein zaghafter Versuch laesst immerhin erahnen, dass Du so langsam mitgekriegt hast, was es bedeutet: eine Funktion ist Lösung einer Dgl. :)

Jetzt kannst Du versuchen, von Deiner bisherigen Laufbahn als antrainierter Affe (der nicht weiss, was Lösungen sind, aber mechanisch welche ausrechnen kann) zu profitieren. Was für eine Sorte Dgl. ist denn (1)? Wie wuerde man die loesen, wenn die gesuchten Groessen vorgegeben waeren? Was haben Lösungen von (1) demnach für eine Form?

Comments

ahahah xD

also... wir haben hier mit einer inhomogenen dgl zutun, da wir ja die störfunktion f(t) haben.

ganz normal...

charakteristische polynom bestimmen/ablesen

nullstellen rausfinden

in der form. y(t)= ae^{$\lambda_1$x} +be^{$\lambda_2$x} usw.

f(t) wäre der inhomogene teil und es hängt von der gegebenen funktion ab, welchen lösungsansatz ich benutzen muss.

mfg

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ich geb's auf. Du hast ja von EmNero bereits die komplette Lösung $y''-2y'=2-4t$ erhalten, aber Dir faellt nur ein:

ich kann das nicht nachkontrollieren.

Und zur Kroenung:

wenn ich die neu entstandene dgl löse kommt folgendes: hat aber mit den gegebenen lösungen nix zutun...
y(x)=ae^{2x}+b+x²

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"Vorschlag, weil ich eigentlich keine Ahnung von DGLs habe..." hat er selbst gesagt... :)

aber vielen dank für die bestätigung.

er hat mir nun auch erklärt, wie man z.B. y_3 erhält... nämlich mit a=1 und b=1, was eigentlich eindeutig ist. aber ich habs nicht gleich gesehen...

also vielen dank :)

mfg