Polstelle gebrochene Funktionen

Question

Ich versuche die Polstelle der Funktion f(x)= x-3 / (x²-x-6) zu bestimmen.

NS des Zählers ist: 3

NS Nenner: 3, -2

Es gilt: Nullstelle des Nenners muss nicht Nullstelle des Zählers sein deswegen dachte ich dass bei -2 ein Pol ist.

f(x)= x-3 / ((x-3)(x+2)) = 1/x+2

Stimmt das??

Answer 1

Hi samira,

es ist richtig, dass bei x = -2 eine Polstelle vorliegt. Bei x = 3 hingegen liegt keine Polstelle vor. Die Nennernullstelle hebt sich mit der Zählernullstelle weg und deswegen haben wir da keine Polstelle, sondern eine hebbare Definitionslücke.

Deine Vereinfachung ist damit richtig. Achte aber bitte auf korrekte Klammern ;).

f(x)= (x-3) / ((x-3)(x+2)) = 1/(x+2)

Grüße

Answer 2

Ja. x=3 ist eine hebbare Definitionslücke, weil man wegkürzen kann.

Answer 3

Bestimme den Definitionsbereich $D_f$, indem du die Nullstelle des Nenners errechnest:$$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$$ Daraus folgt, das $x_1=-2$ und $x_2=3$ sind.

Der Defintionsbereich lautet also $D_f=\{x∈ℝ, x ≠-2;3\}$. Nun berechnest du die Nullstellen des Zählers:$$x-3=0 \quad \longrightarrow x_1=3$$ Wenn $x_0$ eine Nullstelle des Nenner, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine Polstelle vor.

Da eine Nullstelle des Nenner $x=3$ gleichzeitig eine Nullstelle des Zähler ist, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionlücke vor.

Nach Faktorisierung von Nenner und Zähler erhalte ich:$$=\frac{1}{x+2}$$ Da $x=-2$ auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei $x=-2$ um eine Polstelle