da dich beim Limes hier die Werte für sehr große x interessieren, um zu sehen, was passiert, kannst du auch eine Abschätzung vornehmen. Das geht aber nur, wenn du schon die Reihenentwicklung der e-Funktion kennst, die für alle x∈ℝ gegen e^x konvergiert. Sie lautet
$$ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\cdot x^k $$ und für die im Nenner dann
$$ e^{2\cdot x}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (2\cdot x)^k $$
Es reicht sogar bei dieser Summe dann nur bis n=4 zu gehen, denn dann hast du ein Polynom 4:Grades, was schneller als x^3-2 wächst. $$ e^{2\cdot x}=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot (2\cdot x)^k\geq 1+2\cdot x+2\cdot x^2+\frac{4}{3}\cdot x^3+\frac{2}{3}\cdot x^4 $$ Insgesamt hast du also:
$$ \lim_{x\to \infty}\frac{x^3-2}{e^{2\cdot x}}\stackrel{große \ x}{\leq} \lim_{x\to \infty}\frac{x^3-2}{1+2\cdot x+2\cdot x^2+\frac{4}{3}\cdot x^3+\frac{2}{3}\cdot x^4}\\=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3}{x^4}-\frac{2}{x^4}}{\frac{1}{x^4}+\frac{2\cdot x}{x^4}+\frac{2\cdot x^2}{x^4}+\frac{4}{3}\cdot \frac{x^3}{x^4}+\frac{2}{3}\cdot \frac{x^4}{x^4}}\\=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^4}}{\frac{1}{x^4}+\frac{2}{x^3}+\frac{2}{x^2}+\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{x}+\frac{2}{3}}=0.$$
