Integration durch Substitution von f(x) = sin(√(x))/(2*√(x))

Question

guten morgen zusammen! leider stehe ich vollkommen auf dem schlauch:

ich habe die aufgabe: $$\int_{0}^{\pi^2} \dfrac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\cdot\sqrt{x}} \text{ d}x$$ von (sin(wurzel(x))/(2(wurzel(x)) mir ist klar, dass ich hier u=wurzel x substituieren soll nur wie komme ich dann bei du/dx auf 1/(2*wurzel(x))

vielen dank ich hoffe man kann mir helfen!;)

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Hallo. Ich habe mal den angefangenen $\TeX$-Term vervollständigt. Bitte prüfe, ob ich das richtig gemacht habe.

Answer 1

u=√x = x^1/2

du/dx= 1/2 *x^(1/2)-1

du/dx= 1/2 x^-1/2

du/dx=1/ (2 √x)

Ergebnis=2

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vielen dank für die antwort! jetzt bin ich aber doch etwas verwirrt... wieso ist du/dx die ableitung von wurzel(x)

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,

allgemein gilt:

y=xⁿ

 y'= n x^n-1

Nichts anderes habe ich getan.

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Du hattest selbst u(x):=wurzel(x) gewählt und die Ableitung der Quadratwurzel sollte man auswendig wissen, sie kommt ja oft genug vor.

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ja ich glaube dass ich den ausdruck du/dx noch nicht ganz verstanden habe.

wenn ich es jetzt aber richtig denke heißt du/dx nichts anderes als das substituierte u abgeleitet?

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JA, du hast u=√x nach x abgeleitet.

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dann bedanke ich mich recht herzlich !

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Hallo noch einmal, ich weiß es ist schon was her aber ich habe die Aufgabe gerade noch einmal berechnet und bin dabei auf ein kleines Problem gestoßen:

am Ende des Integrierens habe ich Folgenden Ausdruck da stehen:

$$\int_{0}^{pi}$$ sin(u)

-> -cos($$\frac{1}{2\sqrt{pi}}$$) - -cos($$\frac{1}{2\sqrt{0}}$$) Mein problem ist jetzt Hierbei, dass ja 1/(2*wurzel(0)) nicht definiert ist  oder? da 1/0 ja nicht geht ... trotzdem wird das in der lösung zu (cos(0)

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du mußt das dx auch noch ersetzen:

dx=du *2 *√x

dx=du *2 u

Das mußt Du in den Integranden einsetzen und vereinfachen.

So bekommst Du:

=  $$\int_{0}^{π}- cos(u) du$$

= -(-1) -(-1)

=1+1=2

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oh man ja ... ich habe u' eingesetzt .... noch eine kurze nebenfrage: warum ist

-cos(wurzel(pi)) beim google rechner 1 und bei meinem casio rechner minus 1 (egal wie ich klammern setze) ?

Answer 2

https://www.integralrechner.de/

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schon benutzt verstehe den lösungsweg aber nicht ;/

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Welchen Schritt verstehst du denn nicht?

Answer 3

Dass ich hier u=wurzel x substituieren soll nur wie komme ich dann bei du/dx auf 1/(2*wurzel(x))

Leite u(x)=√(x) = x^1/2 nach x ab, dann du/dx = u' (x) .

u'(x) = 1/2 * x^-1/2 = 1/(2√(x))

Somit

du/dx  = 1/(2√(x))       | * dx

du = 1/(2√(x)) dx

D.h. der Nenner und das dx werden bei der Substitution insgesamt zu du.