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Lösungsmenge L der Ungleichung:

17/(-4-x) ≤ 16 ; x ≠ -4


Ich hab jetzt als Lösungsmenge raus: (-∞ ; -81/16]  aber irgendwie scheint da noch ein Intervall zu fehlen laut Lösung?

Bin echt ratlos, bitte um Hilfe.


MFG

von

1 Antwort

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ja dein Teil stimmt schonmal. Aber du musst eine Fallunterscheidung machen, da der Nenner bei x=-4 ein Vorzeichenwechsel macht. Du hast also diese zwei Fälle:

$$ \frac{-17}{4+x}\leq 16 $$

$$ \text{Fall 1.  }x+4<0 \Leftrightarrow x<-4\\\begin{align} \frac{-17}{4+x}&\leq 16 &\quad &|\cdot (4+x)\\-17&\geq 64+16x &\quad &|-64\\-81&\geq 16x &\quad &| :16\\ -\frac{81}{16}&\geq x \Leftrightarrow x\leq -\frac{81}{16}=-5,0625 \end{align} $$ Die Schnittmenge vom Ergebnis und der Bedingung x<-4 ergibt dann diese Lösung: $$ \mathbb{L_1}=\{x\in \mathbb{R}:x\leq-5,0625\} $$ $$ \text{Fall 2.  }x+4>0 \Leftrightarrow x>-4\\\begin{align} \frac{-17}{4+x}&\leq 16 &\quad &|\cdot (4+x)\\-17&\leq 64+16x &\quad &|-64\\-81&\leq 16x &\quad &| :16\\ -\frac{81}{16}&\leq x \Leftrightarrow x\geq -\frac{81}{16}=-5,0625 \end{align} $$ Die Schnittmenge vom Ergebnis und der Bedingung x>-4 ergibt dann diese Lösung: $$ \mathbb{L_2}=\{x\in \mathbb{R}:-4<x\} $$

Dann hat man diese Gesamtlösung $$ \mathbb{L_{ges}}=\mathbb{L_1}\cup\mathbb{L_2}\\=\{x\in \mathbb{R}:x\leq-5,0625 \quad \lor \quad -4<x \}=]-\infty,-5,0625]\cup]-4,\infty[. $$

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