Trigonometrische Funktionen Schnittpunkte und Integration

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Bestimmen Sie über dem Intervall von [0,2π] den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der Funktionen f(x) = 0,5 sin(x) und g(x) = cos (x) umrandet wird?

An sich ist mir klar was ich glaube ich zu tun habe:

1. Schnittpunkte bestimmen

2. Integrieren von den Intervallgrenzen bis Schnittpunkte und die Beträge addieren zur Gesamtfläche.

Problem ist das Schnittpunkt bestimmen, ich komme auf kein vernünftiges Ergebnis beim gleichsetzen der Gleichungen.

Ist der Ansatz soweit durchführbar? Danke für euer Hilfe!

Der Stümper

Comments

Sehe gerade ein Fehler: f(x) = 0,5 + sin (x)

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Wenn du die bisherigen Antworten nicht anpassen kannst an die neue Version, musst du die Frage wohl neu stellen.

Die bisherigen Antworten rechnen mit

f(x) = 0,5 sin(x) und g(x) = cos (x)

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5+%2B+sin(x)+%3D+cos+(x)

Zeigt dir eine mögliche Rechenart.

0.5 + sin(x) = cos (x)               | cos(x) = ± √(1- sin^2(x)) 

0.5 + sin(x) = ± √(1- sin^2(x))      |^2

(0.5 + sin(x))^2 = 1 - sin^2(x)

hier kommst du auf eine quadratische Gleichung für u = sin(x) .

Nun hier alle denkbare Lösungen bestimmen.

Danach diejenigen Lösungen wieder streichen, die möglicherweise nur Scheinlösungen sind.

Answer 1

1. Schnittpunkte bestimmen:

0.5sin(x)=cos(x).     |:cos(x)

0.5tan(x)=1

tan(x)=2

x=arctan(2)+kπ , k∈ℤ

Hier gent es wahrscheinlich um die Schnittpunkte bei \(k=0\) und \(k=1\).

\(\arctan(2)\) und \(\arctan(2)+π\) sind also deine Grenzen.

Answer 2

hallo

0.5sin(x)=cos(x)=> tan(x)=2, x=1.107  und 4.25  oder 63,43°und 243,51°

Den Rst kannst du wohl?

Gruß lul

Answer 3

der Ansatz ist eine Differenzenfunktion aufzustellen, um diese dann zu integrieren.

$$ d(x)=f(x)-g(x)=0,5+\sin(x)-\cos(x) $$

Jetzt interessieren dich die möglichen Nullstellen auf dem Intervall [0,2π]. Also ist zunächst der Ansatz: $$ 0=0,5+\sin(x)- \cos(x)\\ \stackrel{(*)}{\Leftrightarrow} 0=0,5-\sqrt{2}\cdot \cos\Big(\frac{\pi}{4}+x\Big)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{8}}=\cos\Big(\frac{\pi}{4}+x\Big)\quad |\arccos(.)\\ \arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{8}}\Big)=\frac{\pi}{4}+x \Leftrightarrow x=\arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{8}}\Big)-\frac{\pi}{4}$$

Die Nullstellen:

$$ x_{k_1}=\arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{8}}\Big)-\frac{\pi}{4}+2\cdot \pi\cdot k_1\\x_{k_2}=-\arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{8}}\Big)-\frac{\pi}{4}+2\cdot \pi\cdot k_2 $$

Mit k_1=0 hat man

$$ x_{0}=\arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{8}}\Big)-\frac{\pi}{4}+2\cdot \pi\cdot 0\approx 0,424 $$

Mit k_2=1 hat man

$$ x_{1}=-\arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{8}}\Big)-\frac{\pi}{4}+2\cdot \pi\cdot 1 \approx 4,288 $$

Das sind die Nullstellen im Intervall. Nun integrierst du die Differenzenfunktion d.

(*) Mit etwas Probieren.