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1,8 ^ x = 2x


Mir fällt kein Weg ein, wie ich diese Gleichung lösen könnte.

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Benutze den Taschenrechner, einen analytischen Weg zur Lösung gibt es nicht.

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die Gleichung ist analytisch nicht lösbar. Benutze Näherungsverfahren,z.B eine Fixpunktiteration.

Man erhält mit Startwert x_1=1 recht zügig die Lösung x≈0.8

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Näherungsverfahren von Newton: 
Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

f(x) = 1,8x - 2x     ,  f '(x) = 1,8x · ln(1,8) - 2

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel$$x_{neu} =  x_{alt} - \frac{f(x_{alt})}{ f ' (x_{alt})}$$Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast. Hier hilft oft eine Betrachtung der Extremwerte und der Krümmung.

Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn man für xalt zum Beispiel eine Nullsstelle von f ' erwischt. Dann hilft oft ein anderer Startwert.
Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung.

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Gruß Wolfgang

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