Vorbemerkung:
Es darf nicht X(0) = - 1 heißen, denn X ist ja keine Funktion. Richtig ist: x0 = - 1. Gemeint ist damit eine bestimmte Stelle auf der x-Achse.
Zur Aufgabe:
f ' ( -1 ) = lim h -> 0 f ( ( - 1 + h ) - f ( - 1 ) ) / h
= lim h -> 0 ( 4 * ( - 1 + h ) ² - 4 * ( - 1 ) ² ) / h
= lim h -> 0 ( 4 * ( 1 - 2 h + h ² ) - 4 ) / h
= lim h -> 0 ( 4 - 8 h + 4 h ² - 4 ) / h
= lim h -> 0 ( - 8 h + 4 h ² ) / h
[jetzt kürzen mit h:]
= lim h -> 0 ( - 8 + 4 h )
[Nun kann man den Grenzwert bestimmen:]
= - 8
Damit habe ich den Wert der Ableitung an der Stelle x0 = - 1 direkt berechnet indem ich dieses Stelle von Anfang an eingesetzt habe.
Ich empfehle jedoch, die Grenzwertbestimmung zunächst ganz allgemein durchzuführen (auch wenn man den Grenzwert an einer bestimmten Stelle x0 bestimmen soll) und diese Stelle erst einzusetzen, wenn man die Ableitung bestimmt hat. Das sieht dann so aus:
f ' ( x ) = lim h -> 0 f ( ( x + h ) - f ( x ) ) / h
= lim h -> 0 ( 4 * ( x + h ) ² - 4 * ( x ) ² ) / h
= lim h -> 0 ( 4 * ( x ² + 2 x h + h ² ) - 4 x ² ) / h
= lim h -> 0 ( 4 x ² + 8 x h + 4 h ² - 4 x ² ) / h
= lim h -> 0 ( 8 x h + 4 h ² ) / h
[jetzt kürzen mit h:]
= lim h -> 0 ( 8 x + 4 h )
[Nun kann man den Grenzwert, also die Ableitung von f ( x ) bestimmen:]
= 8 x
Einsetzen von x0 = - 1 für x liefert:
f ' ( x ) = 8 * - 1 = - 8
