Bestimmen Sie jeweils die zugehörige Funktionsgleichung

Question

a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch die Punkte A(1/-1) B(2/-7) C(3/-7) und D(4/3)

Answer 1

Ansatz f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten

Grades geht durch die Punkte A(1/-1) B(2/-7) C(3/-7) und D(4/3)

und dann

f(1)=-1 ==>   a+b+c+d+= -1

f(2)=-7 ==>  8a+4b+2c+d = -7

f(3)=-7 ==>  27a +9b + 3c + d = -7

f(4)=3 ==>  64a + 16b + 4c + d = 3

gibt a=2/3 m b=-1   c=-23/3   d= 7

also f(x) = 2/3 x^3  -1x^2   -23/3 x  + 7

sieht so aus:

~plot~ 2/3 x^3  -1x^2  -23/3 x  + 7;[[0|5|-10|20]] ~plot~

Answer 2

Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d. Hier die Punkte die Punkte A(1/-1) B(2/-7) C(3/-7) und D(4/3) einsetzen:

-1=a+b+c+d

-7=8a+4b+2c+d

-7=27a+9b+3c+d

3=64a+16b+4c+d

Dieses System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten lösen. Die Lösungen in den Ansatz einsetzen.

Answer 3

a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades geht durch die Punkte A(1|-1) B(2|-7) C(3|-7) und D(4|3)

Ich verschiebe alle Punkte um 7 Einheiten nach oben

A´(1|6) B´(2|0) C´(3|0) und D´(4|10)

Linearfaktorenform:

f(x)=a(x-2)(x-3)(x-N)=a(x^2-5x+6)(x-N)=a(x^3-5x^2+6x-Nx^2+5Nx-6N)

A´(1|6)

f(1)=a(1-5+6-N+5N-6N)=a(2-2N)=6

\( a=\frac{3}{1-N} \)

D´(4|10)

f(4)=a(64-80+24-16N+20N-6N)=a(8-2N)=10

\( a=\frac{5}{4-N} \)

\( \frac{3}{1-N}=\frac{5}{4-N} \)

N=-3,5

\( a=\frac{2}{3} \)

\(f(x)= \frac{2}{3}(x-2)(x-3)(x+3,5) \)

...um 7 Einheiten nach unten:

\(p(x)= \frac{2}{3}(x-2)(x-3)(x+3,5)-7 \)