Summenformeln für (un)gerade Quadratzahlen. Beweis mit Induktion

Question

Hallo

Folgende 2 Gleichungen musste ich mittels Induktion beweisen:

$$1^2 + 3^2 ..... q^2 = \frac{q(q+1)(q+1)}{6}$$ für jede ungerade natürliche Zahl q ≥ 1

und

$$2^2 + 4^2 ..... p^2 = \frac{p(p+1)(p+1)}{6}$$ für jede gerade natürliche Zahl p ≥ 2

was mir geling. Nun soll ich daraus schliessen, dass

$$∑k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Mir ist klar, dass ich aus 2 bediengungen, die ich von p und q habe, darauf schliessen könnte, aber es ist ja gar nicht die gleiche Formel. In der zweiten Klammer im Zähler ist (2n+1) statt (n+1). Wie soll ich da folgern, dass aus p und q automatisch (n+1) folgert?

Comments

$$\sum k^2=\sum_{k gerade}^n k^2+\sum_{kungerade}^n k^2= \sum_{k =1}^{n/2} (2k)^2+\sum_{kungerade}^n k^2=...$$

Answer 1

Die ersten beiden Formeln beweist du in der Form

Summe k=1 bis (q+1)/2 über  (2k-1)² ist gleich q*(q+1)*(q+2)/6

Summe k=1 bis p/2 über  (2k)² ist gleich p*(p+1)*(p+2)/6.

z.B. das erste beweist du dann über v.Ind. nach der Anzahl z der

Summanden.

Anfang z=1 dann hast du eine Summe aus einem Summanden (2*1-1)²

das ist also 1¹ = 1 .  Und q ist dann ja auch 1 und das Ergebnis

q*(q+1)*(q+2)/6 = 6/6 = 1.  Passt also.

Angenommen für z Summanden ist es richtig, dann musst du

für z+1 Summanden zeigen:  (Der zusätzliche Summand ist ja dann (q+2)² .

Summe  k=1 bis (q+3)/2 über  (2k-1)² ist gleich (q+2)*(q+3)*(q+4)/6.

Dazu hast du

Summe   k=1 bis (q+3)/2 über  (2k-1)²

=  Summe k=1 bis (q+3)/2 über  (2k-1)²    +  ( 2*(q+3)/2 - 1 )²

=  q*(q+1)*(q+2)/6     +  (q+2)²

=   q*(q+1)*(q+2)/6     +  6(q+2)² /6

=  ((q+2)/6  )  *  ( q*(q+1) + 6(q+2) )

und es bleibt zu prüfen, ob die 2. Klammer das Gleiche ist wie

           (q+3)*(q+4) .

Also am besten mal beides auflösen:

(q+3)*(q+4)  =  q² + 7q + 12   und

q*(q+1) + 6(q+2) = q² + q + 6q + 12  .  Das passt also.

In der Art beweist du auch die Formel für die geraden Zahlen.

Und dann wie in dem ersten hilfreichen Kommentar angedeutet:

Nehmen wir erst mal den Fall:   n gerade:

$$\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}{(2i)^2}+\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}{(2i-1)^2}$$

Und nun die beiden bewiesenen Formeln benutzen.

Es ist ja bei der ersten

$$q=2*(\frac{n}{2})-1 = n-1$$   und  bei der zweiten   p=n.

Also wird aus q*(q+1)*(q+2)/6   +   p*(p+1)*(p+2)/6   dann

(n-1)*n*(n+1)/6   +   n*(n+1)*(n+2)/6

Jetzt n(n+1)/6 ausklammern gibt

n(n+1)/6  * ( n-1 +  n+2 )  =  n(n+1)(2n+1) /6  wie gewünscht.

Jetzt noch das Ganze für ungerades n zeigen. Viel Spaß dabei !

Comments

Das hat erstens nur bedingt mit der Aufgabe zu tun und ist zweitens falsch.

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In der Tat. War wohl schon was spät gestern.

Habe versucht es zu korrigieren.

Answer 2

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k²) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k²) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)
Σ (k = 1 bis 1) (k²) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)
1² = 1/6·2·3
1 = 1
Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k²) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)
Σ (k = 1 bis n) (k²) + (n + 1)² = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)² = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)
1/3·n² + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n² + 7/6·n + 1
1/3·n² + 7/6·n + 1 = 1/3·n² + 7/6·n + 1
Stimmt !

Comments

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k³) = 1/4·n²·(n + 1)²

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis 1) (k³) = 1/4·1²·(1 + 1)²
1³ = 1/4·2²
1 = 1 -- > Stimmt!

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k³) = 1/4·(n + 1)²·((n + 1) + 1)²
Σ (k = 1 bis n) (k³) + (n + 1)³ = 1/4·(n + 1)²·(n + 2)²
1/4·n²·(n + 1)² + (n + 1)³ = 1/4·(n + 1)²·(n + 2)²
1/4·n² + (n + 1) = 1/4·(n + 2)²
n² + 4·(n + 1) = (n + 2)²
n² + 4·n + 4 = n² + 4·n + 4 → Stimmt!

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1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)
1/3·n2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n2 + 7/6·n + 1
1/3·n2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n2 + 7/6·n + 1
Stimmt !

Kannst du mir da bitte genau erklären wie du drauf kommst .. Danke