Nur alternativ. Was man auch machen könnte; ===> Taylorentwicklung. Falls du das Wort noch nie gehört haben solltest; es ist wirklich nix Böses. Überzeuge dich zunächst, dass für jedes kubistische Polynom gilt
f ( x ) = f ( 0 ) + x f ' ( 0 ) + 1/2 x ² f " ( 0 ) + ( 1 / 6 ! ) f(³) x ³ ( 1 )
Der Vorteil dieser Taylordarstellung; sie erlaubt dir, den Nullpunkt deines Koordinatensystems zu verschieben. weil es ist doch dem Polynom egal, ob du es um x = 0 oder um x0 = 2 entwickelst. ( Duwirst viel flexibler. )
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + 1/2 h ² f " ( x0 ) + a3 h ³ ( 2a )
mit
h := x - x0 ( 2b )
Dabei stellt sich der ===> Leitkoeffizient a3 als unabhängig vom Entwicklungspunkt heraus; überlege. Wenn wir jetzt setzen x0 = 2 , dann gilt in ( 2a ) ganz speziell
f ( x0 ) = 4 ; f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) = 0 ( 3a )
f ( x0 + h ) = 4 + a3 h ³ ( 3b )
weil ich agiere wie ein Fußballtrainer oder Schachgroßmeister. Meine Devise lautet: So wenig Unbekannte wie möglich; eine Schulaufgabe sollte mit zwei Unbekannten auskommen. Und hier haben wir bloß eine.
Und gleich einem Schachspiel folgt meine Strategie immer dem Grundsatz: Der Feind wählt von zwei Alternativenn immer die dritte.
Jetzt hast du eine Nullstelle bei x = 0, entsprechend h = ( - 2 ) In ( 3b ) ergibt das
4 - 8 a3 = 0 ===> a3 = 1/2 ( 4a )
f ( x0 + h ) = 1/2 h ³ + 4 ( 4b )
( Überleg dir mal, wie ein kubisches Polynom mit ===> Terrassenpunkt aussieht; da gibt es nicht allzu viele Möglichkeiten. )
( Nur falls Interesse besteht; ein ===> Sattelpunkt ist etwas total anderes als ein Terrassenpunkt; wie du aus der Praxis sicher weißt, ist ein Sattel eine mindestens zweidimensionale Fläche und keine eindimensionale Kurve. )
Was wir jetzt noch müssen; die Entwicklungskoeffizienten für x = 0 ausrechnen in ( 1 ) Was ich also auf der einen Seite gespart habe an Unbekannten, das holt mich jetzt in Form lästiger Routine wieder ein.
a0 = f ( 0 ) = 0 war Bedingung - geschenkt. Jetzt die erste Ableitung von ( 4b )
f ' ( h ) = 3/2 h ² ===> a1 = f ' ( h = - 2 ) = 6 ( 5a )
1/2 f " ( h ) = 3/2 h ===> a2 = ( - 3 ) ( 5b )
a3 hatten wir ja schon in ( 4a ) mit 1/2 , so dass
f ( x ) = 1/2 x ³ - 3 x ² + 6 x ( 5c )
