0 Daumen
12,1k Aufrufe

ich brauche Hilfe zu meiner Hausaufgabe, die ich morgen abgeben muss :/ 

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt.

Könnte mir jemand die Lösung schicken? Bis jetzt bin ich soweit gekommen .. 

f(x) = ax3+bx2+cx+d

f´(x) = 3ax2+2bx+c

f´´(x) = 6ax+2b

f´´´(x) = 6a

 

Eigenschaften         Bedingung       Gleichung                          

S(1|2)                         f(1) = 2              a*x3+b*x2+c*x+d = 2                         a+b+c+d = 2

                                   f´(1) = 0             3a*x2+2b*x+c = 0                              3a+2b+c = 0

                                    f´´(1) = 0            6a*x+2b = 0                                        6a+2b = 0

 

Ich verstehe jetzt überhaupt nicht wie ich das d wegkürzen kann und wie ich weiter komme..

Ich hoffe mir kann jemand schnell helfen. Danke jetzt schonmal :)

Avatar von
d ist 0, da die Kurve durch den Ursprung geht!

d ist ja der y-Achsenabschnitt deiner Kurve.

4 Antworten

+1 Daumen

 

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt.

f(x) = ax3+bx2+cx+d

f´(x) = 3ax2+2bx+c

f´´(x) = 6ax+2b

f´´´(x) = 6a

 

Soweit alles richtig :-)

Der Graph geht durch den Ursprung:

f(0) = 0 = d

Er geht durch (1|2)

f(1) = a + b + c = 2

Er hat dort einen Sattelpunkt, d.h. f'(1) = 0 und f''(1) = 0: 

f'(1) = 0 = 3a + 2b + c

f''(1) = 0 = 6a + 2b

a = 2

b = -6

c = 6

f(x) = 2x3 - 6x2 + 6

 

 

Besten Gruß

Avatar von 32 k
Sehr gern geschehen!!

Freut mich, wenn ich helfen konnte :-)
0 Daumen

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx

und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt.

f(1) = 2
a + b + c = 2

f'(1) = 0
3·a + 2·b + c = 0

f''(1) = 0
6·a + 2·b = 0

Das LGS hat die Lösung a = 2 ∧ b = -6 ∧ c = 6

Damit lautet die Funktion

f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x

Avatar von 484 k 🚀
Um Himmels Willen wieso ist b -6?
0 Daumen

"Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat in S(1|2) einen Sattelpunkt."

Sattelpunkt \(S(1|2) → S´(1|0) \)  dreifache Nullstelle:

\(f(x)=a*(x-1)^3\)

\(U(0|0)→U´(0|-2)\)

\(f(0)=a*(0-1)^3=-a\)

\(-a=-2\) →   \(a=2\)

\(f(x)=2*(x-1)^3\)

\(p(x)=2*(x-1)^3+2\)

Unbenannt.PNG

Avatar von 38 k
0 Daumen

Da der Sattelpunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades auch der Symmetriepunkt des Graphen ist, lässt sich die Situation vereinfachen, indem der Graph so verschoben wird, dass der Sattelpunkt im Ursprung liegt. Die so verschobene Funktion ist dann eine Potenzfunktion der Form $$g(x)=a\cdot x^3.$$ Der ehemalige Nullpunkt ist nun der Punkt \(\left(-1\vert -2\right)\). Damit folgt durch Einsetzen \(a=2\). Nun wollen wir durch Zurückverschieben eine Gleichung von \(f\) gewinnen: Es gilt $$f(x)=g(x-1)+2=2\cdot\left(x-1\right)^3+2$$ und wir sind fertig.

blob.png

Avatar von 26 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community