0 Daumen
728 Aufrufe

Wäre es möglich, dass ihr mir bei dieser Aufgabe mit der Lösung helft? Ich habe die schön gelöst, aber ich bin mir mit meinen Ergebnissen unsicher. Mit dem Lösungsweg wäre es super!

Es seien n ∈ ℕ, x ∈ ℝ. Bestimme, falls existent, folgende Grenzwerte:

a) \( \lim \limits_ { n \rightarrow \infty } \left( \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } - \sqrt { n ^ { 2 } - 1 } \right) \)

b) \( \sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { 2 ^ { k } } { 5 ^ { k + 2 } } \)

c) \( x \cdot \log \left( \frac { x + 1 } { x - 1 } \right) \)


IMG_7080.jpg

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

a)  Setze den Nenner 1 unter den Term und erweitere dann den Bruch mit

√(n^2 + 1) +  √(n^2 - 1) .  Dann gibt es mit der 3. bino. Formel

= (  (n^2 + 1 )  -  ( n^2 - 1 )  )   /       (√(n^2 + 1) +  √(n^2 - 1))

=          2     /        (√(n^2 + 1) +  √(n^2 - 1))

Das ist ein Bruch mit konstantem Zähler und Nenner,

der gegen unendlich geht. Also insgesamt Grenzwert 0.

b) und c) sind doch gar keine Grenzwerte.

Avatar von 287 k 🚀

b) Summenwert:

1/25* (4/25)//1-2/5)) = ...

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

hi , für 1 habe ich die genau so gemacht und für die reihe habe ich sie ein bisschen umgeformt bis ich wirklich auf die geo reihe kam mit einer konstanten Zahl und habe 4/375 als wert der reihe bekommen

aber bin ich mir bei der c nicht sicher weil x ja gegen nichts strebt oder verstehe ich es falsch ?

bei b) ist n---> ∞ und bei c) x---> ∞ (andere Werte ergeben keinen Sinn)

0 Daumen

b) hier stimmt dein Ergebnis

c) nimm den Grenzwert e hoch, also betrachte

$$\lim\limits_{x\to\infty} e^{xlog((x+1)/(x-1))}=\lim\limits_{x\to\infty} ((x+1)/(x-1))^x=\lim\limits_{x\to\infty} (1+\frac{2}{x-1})^x=\lim\limits_{z\to\infty} (1+\frac{2}{z})^{z+1}\\ =\lim\limits_{z\to\infty} (1+\frac{2}{z})^{z}*\lim\limits_{z\to\infty} (1+\frac{2}{z})^{1}=e^2*1\\$$

Also ist der gesuchte Grenzwert =2

Avatar von 37 k

Danke sehr für die nachvollziehbare Lösung aber sollte es bei dir nach dem ersten Gleichzeichen nicht mal x statt hoch x ? ^^ verbessere mich bitte , indem du sagst wie es ging . Danke

Hier wurde das Potenzgesetz $$e^{ab}=(e^{a})^b$$ verwendet.

Mit

$$ a=log(...),b=x$$

e und log(...) heben sich dann weg.

ach so ja stimmt ! danke

kannst du au no diese Aufgabe lösen ? (2) https://www.mathelounge.de/574317/grenzwerte-berechnen weil anscheinend kannst du mit den ln , log , e gut umgehen haha ! Danke

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community