Polynom als Linearkombination von Monomen

Question

Ich bin beim Bereich Polynome auf etwas gestoßen, was mir unklar ist. Doch zunächst, worum es ganau geht:

$$\text{Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper. Die Monome in }\mathbb{K}[T]\text{ sind die Polynome der Gestalt}\\T^µ:=\sum_{v\in\mathbb{N}}\delta_{µv}\cdot T^v,\text{ wobei }\delta_{µv}:=\begin{cases} 1_{\mathbb{K}}&\text{falls } µ=v,\\0_{\mathbb{K}} &\text{falls } µ\neq v.\end{cases}\\\text{Jedes Polynom }\sum_{v\in \mathbb{N}}a_v\cdot T^v\text{ ist eine Linearkombination von Monomen in }\mathbb{K}[T]:\text{ Wegen }\\a_v\neq 0_\mathbb{K}\text{ für höchstens endlich viele }v\in\mathbb{N},\text{ gibt es ein }k\text{ mit }a_v=0_\mathbb{K}\text{ für alle }v>k. \text{ Es gilt}\\\sum_{v\in \mathbb{N}}a_v\cdot T^v=a_0\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{0v}\cdot T^v+...a_k\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{kv}\cdot T^v=a_0\cdot T^0+...+a_k\cdot T^k.$$

Mir ist unklar, wie man jetzt auf die Koeffizienten vor den einzelnen Summanden gekommen ist und warum es genau so geschrieben werden soll:

$$\sum_{v\in \mathbb{N}}a_v\cdot T^v=a_0\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{0v}\cdot T^v+...a_k\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{kv}\cdot T^v=a_0\cdot T^0+...+a_k\cdot T^k.$$

Comments

EDIT: Tippfehler. Es muss so lauten:

$$\sum_{v\in \mathbb{N}}a_v\cdot T^v=a_0\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{0v}\cdot T^v+...+a_k\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{kv}\cdot T^v=a_0\cdot T^0+...+a_k\cdot T^k.$$

Genauer gesagt verwirrt mich der mittlere Teil der gesamten Gleichung. Der rechte Ausdruck $$a_0\cdot T^0+...+a_k\cdot T^k$$ kommt mir recht vertraut vor, da ich ihn in dieser Struktur schon in der Schulzeit kennengelernt hatte. Aber wie kommt man jetzt auf diese komische Schreibweise mit den einzelnen Summen?

Answer 1

Mach dir erst mal die Definition der Monome klar:

Das sind einfach nur die Potenzen von T,

also ist z.B. T³ ein Monom oder T¹⁹ etc.

Da aber die Polynome immer Summen von der Art

$$\sum_{v\in \mathbb{N}}a_v\cdot T^v$$

sein sollen, muss am die Monome auch in der Art

definieren und der Trick mit dem δ_μν ist ja, dass das fast immer 0

ist, außer für μ=ν.   Also ist ein Monom ein Polynom mit einem

einzigen Koeffizienten 1 und alle anderen sind 0.

Es ist allerdings auch ein Polynom.

Und der dich verwirrende mittlere Schritt ist einfach nur

gemacht, um zu zeigen, dass man mit dieser

Definition genau das erhält, was man früher schon

als Polynom kennengelernt hat.

Comments

Ok, mich hatte auch nicht der Teil für Monomen verwirrt und hatte es auch verstanden - hätte ich sagen sollen (Entschuldigung). Mich verwirrt diese Art, auf einmal so zu schreiben. Ohne den Teil $$a_0\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{0v}\cdot T^v+...a_k\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{kv}\cdot T^v$$

würde ich es verstehen, Polynome aufzuschreiben. Aber ich kapiere nicht wie man auf diese Koeffizienten a vor den Summen kommt. Wodurch werden diese indieziert? Immernoch durch v?

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 Das $$a_0\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{0v}\cdot T^v+...a_k\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{kv}\cdot T^v$$

könnte man auch so schreiben

$$=\sum_{n\in \mathbb{N}}a_n\cdot \sum_{v\in \mathbb{N}}\delta_{nv}\cdot T^v$$

und dann musst du nur noch bedenken, die Deltas sind fast alle 0, außer,

wenn beide Indizes übereinstimmen.

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Jetzt bin noch blöder... Was hat denn jetzt a_n in einer Summe zu suchen?

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Das waren vorher a0, a1, a2 , … ak .

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Ich merke irgendwie zunehmend, dass ich diese allgemeinere Summennotation in der Form $$\sum_{i\in I}a_i$$ überhauptnicht verstanden habe. Was passiert eigentlich bei solchen Summen genau?

Bisher war ich nur Summen dieser Schreibweise gewohnt $$\sum_{i=0}^na_i,\text{ bzw. } \sum_{i=0}^\infty a_i$$

Ich fange bei i=0 an und höre bei n auf, oder mache es unendlich oft, indem ich jedes i in meine Folge a_i einsetze und so eine reelle Zahl erhalte die ich dazu addiere und das in aufsteigender Reihenfolge der i' s.

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Bei dieser Schreibweise ist I die sog. Indexmenge, mit

der man irgendwelche andere Zahlen, Vektoren oder sowas indiziert.

Wenn etwa  I={3;5;8;9;10} ist, dann ist die

Summe über alle a_i mit i ∈ I eben   a₃ +a₅+a₈+a₉+a₁₀

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Ok, und bei der ,,bisher '' gewohnten Schreibweise wäre ℕ die Indexmenge?

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EDIT: Dann ist doch die Indexmenge bei Linearkombinationen endlich. Also ich betrachte eine endliche Familie von Vektoren $$\mathcal{F}:=\big((1,4,0,7),(2,0,0,1),(3,2,10,7),(6,7,8,7)\big)\subseteq \mathbb{R^4}$$ Nun habe ich die Indexmenge $$I=\{5,-3,-2,-2\}$$ und bekomme so den Vektor $$\sum_{i\in I}a_i\cdot v_i=a_1\cdot v_1+a_2\cdot v_2+a_3\cdot v_3+a_4\cdot v_4\\=5\cdot v_1-3\cdot v_2-2\cdot v_3-2\cdot v_4\\=5\cdot (1,4,0,7)-3\cdot (2,0,0,1)-2\cdot (3,2,10,7)-2\cdot (6,7,8,7)=(-19,2,-36,4)$$