sammle zunächst alle Informationen aus der Aufgabe:
Der Graph (dritten Grades)
die allgemeine Form wäre also: f(x)=ax3+bx2+cx+d
... berührt die x-Achse bei x=-1 ...
Sind zwei Informationen: dort muss y=0 sein, Es existiert also ein Punkt f(x=−1)=0. Berühren heißt nicht schneiden, folglich ist dort die Steigung =0 - also f′(x=−1)=0.
... und schneidet die y-Achse bei y=2.
Wieder ein Punkt - die y-Achse ist bei x=0: f(0)=2
Die Tangente für x=2 hat die Steigung m=-9
Die Funktion hat am Berührpunkt die identische Steigung wie die Tangente - demnach ist: f′(x=2)=−9. Das sind vier Informationen für die vier Unbekannten a bis d. Aus f(0)=2 folgt unmittelbar d=2. Einsetzen der verbleibenden drei Bedingungen gibt: f(−1)=a⋅(−1)3+b⋅(−1)2+c⋅(−1)+2=0f′(−1)=3a⋅(−1)2+2b⋅(−1)+c=0f′(2)=3a⋅22+2b⋅2+c=−9 das ganze als Matrix geschrieben: ⎝⎛−13121−24−111⎠⎞⋅⎝⎛abc⎠⎞=⎝⎛−20−9⎠⎞ und nach Gauß gelöst: −13121−24−111−20−9100−11161−2−112−6−33100−1101−2212−663100−110101203100010001−103Die Lösungen sind also a=−1, b=0 und c=3. Die Funktion lautet also y=−x3+3x+2 Der Plot zeigt es nochmal:
Plotlux öffnen f1(x) = -x3+3x+2P(-1|0)f2(x) = -9(x-2)P(2|0)P(0|2)Zoom: x(-4…4) y(-3…6)
scheint zu passen;
Gruß Werner