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kann mir jemand erklären was z^0 für ein Ergebnis liefert und wieso? Ich glaube das Ergebnis soll z sein aber wieso ist mir nicht klar.

Ich danke jeden schonmal für seine Hilfe.

von

Wie lautet die genaue Aufgabe?

Also die Aufgabe lautet:

Z Potenz 0.jpg

I.A.: n=0 dann ist also 1+z^0 und wie es ausschaut ist das 1+z

2 Antworten

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Was ist denn z0 in den reellen Zahlen? Wenn wir in den komplexen Zahlen (wenigstens ganzzahlige) Potenzgesetze zulassen, dann funktioniert der selbe Trick in den komplexen Zahlen. Vorweg: Dass 00 in den komplexen Zahlen nicht definiert werden kann, sollte klar sein. Wenn jetzt z ≠ 0 eine komplexe Zahl ist, dann kannst du mit den Potenzgesetzen folgern:

$$z = z^1 = z^{1+0} = z^1\cdot z^0 = z\cdot z^0 \implies z^0 = 1$$

Dieser Trick funktioniert genau dann, wenn du die Potenzgesetze mit ganzen Zahlen im Exponenten anwenden kannst - und in den komplexen Zahlen darfst du das genau dann, wenn du z0 als 1 definierst. Und genau das ist es auch, eine Definition, jedoch die, die am meisten Sinn ergibt.

LG

von

Eigentlich total einleuchtend was du sagst. So hab ich es auch mir gedacht. Ich rechne nur als Vorbereitung gerade Alt-Klausuren durch und da ist diese Lösung drin zur oben von mir angegebenen Aufgabe:

Z Potenz 0.jpg

Hier ist also z^0 = z oder hab ich was übersehen?

Aufpassen! Du hast:

$$z^{(2^0)} = z^1 = z.$$

Da wendest du dieses Gesetz oben im Exponenten an, nicht unten!

Oh man ja klar. Super vielen Dank! Hast mir sehr geholfen. Manchmal hab ich doch wirklich ein Brett vor dem Kopf.

Ich kenn das, 95% der Mathematik ist Brett-vorm-Kopf-haben und die restlichen 5% ist sich freuen, dass man es endlich kapiert hat ;)

Haha, ja exakt so fühl ich mich. Danke, das macht Mut, zu hören, dass es nicht nur mir so geht ;).

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Falls z ungleich 0 ist, gilt auch bei komplexen Zahlen  z^0=1

Das merkst du spätestens dann, wenn du z in trigonometrischer Form darstellst.

Der Betrag von z^0 wird 1 und das Argument wird 0.

von

Kannst du mir erklären wie man darauf kommt, das dann der Betrag 1 und das Argument 0 ist. Weil ich kann mir gar nicht vorstellen wie ich (x+iy)^0 ausmultipliziere.

Er spielt auf die Euler-formel an:

$$e^{r + i\cdot\varphi} = e^r\cdot(\cos{\varphi} + i\cdot\sin{\varphi})$$

Daraus kann man folgern, dass bei n-facher Potenzierung der Betrag n-fach Potenziert wird, das Argument ver-n-facht wird (das Argument ist der Winkel zwischen der komplexen Zahl und der x-Achse, wenn man komplexe Zahlen als 2-Vektoren betrachtet). Dann weißt du, dass bei z0 der Betrag mit 0 potenziert wird (um zu wissen, dass das 1 ist, brauchst du die Aussage für die reellen Zahlen). Das Argument wird ver-0-facht, der Vektor liegt also mit Betrag 1 auf der x-Achse und muss also die "reelle" Zahl 1+0i sein.

Das Problem damit: Damit die Euler-formel gilt, muss man bereits Potenzierung vollständig definiert haben. Dann hat man aber bereits z0 = 1 definiert, es dient also als Argument, warum diese Definition sinn ergibt.

Wieder super erklärt. Vielen lieben Dank.

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