Zeigen Sie, dass die Funktionenreihe auf jedem Intervall [a,b] aus (0,1) gleichmäßig konvergent ist.

Question

obiges ist für diese Funktionenreihe zu zeigen.

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n(1-x)^n}\:\:\:für\:x\in(0,1)$$

Auch soll man beurteilen, ob die Aussage auch auf das Intervall [0,1]  zutrifft.

Answer 1

Hallo

 das ist eine geometrische Reihe für q=x*(x-1) für x=0 konstant 0 für x=1 auch, für den Rest kennst du sicher den Beweis für geometrische Reihen oder sieh ihn nach, wie sieht die Funktion aus für x≠0 ,1 , was ist ihr GW für x->1 oder x->0

Gruß lul

Comments

Vielen Dank aber ich habe da ein Frage. Muss das nicht q=x*(1-x) sein? Die Funktion konvergiert für x->1 und x->0 gegen 0. Doch wie kann man das mathematisch zeigen? In der Vorlesung haben wir nur gezeigt, dass die geometrische Reihe für |z|<1 konvergiert. Wenn ich nun das q setze und annehme, dass |1-x| |x| < 1, was muss ich noch zeigen für den Beweis der gleichmäßigen Konvergenz?

---

Ich habe soeben folgenden Satz im Skript gefunden, kann man damit was anfangen?

Die Funktionenreihe $$\sum_{n=0}^{\infty}{f_n}$$ ist gleichmäßig konvergent, wenn:

$$\forall\epsilon>0\;\exists n_0\in\mathbb{N},\forall n>m\ge n_0:||\sum_{k=m+1}^{n}{f_k}||_\infty<\epsilon$$

---

Suche weiter, da steht wohl auch noch was Besseres drin. Was mit Weierstrass im Namen.