Analysis : Sei x > o eine reelle Zahl. Zeigen Sie, dass x+ 1/x ≥ 2

Question

Sei x > o eine reelle Zahl.

Zeigen Sie, dass
x+1/x ≥ 2.

ich versteh einfach nicht wie ich so einen Beweis anfangen soll :(

Answer 1

Du könntest einen Widerspruchsbeweis führen.

Angenommen, es gibt ein x>0, sodass \(x+\frac{1}{x}<2.\)

\(\Rightarrow x^2+1<2x\Rightarrow x^2-2x+1<0.\)

Die Gleichung \(x^2-2x+1=0\) hat nur die Lösung x=1. Also ist \(x^2-2x+1\geq 0\) für alle \(x\in\mathbb{R}.\)

Das steht aber im Widerspruch zu \(x^2-2x+1<0.\)

Also kann es so ein x mit \(x+\frac{1}{x}<2\) nicht geben.

Answer 2

dies ist ein Spezialfall eines Teilschritts eines Beweises in

https://www.mathelounge.de/56368/seien-n-2-n-und-x1-x2-xn-0-zeige-dass#a56407 .

Dort kannst du \( x_j = 1 \) setzen und erkennst den Beweis für \( x_k \).

MfG

Mister