Kegelstumpf Volumen beweisen

Question

Wie beweist man die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes?

Comments

Stelle bitte Fragen zu dieser Herleitung, wenn es welche gibt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelstumpf#Beweise

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Das ist schon klar, dass das Volumen des Kegelstumpfes dem Volumen des Kegels minus dem Volumen des Ergänzungskegels entspricht!

Das Problem ist: Wie kommt man von dieser Formel auf die allgemeine Formel?

Also wie kommt man von    "1/3 * phi * (r₁² * h₁ - r₂² * h₂)"     auf     "1/3 * phi * (h₁ - h₂) * ( r₁² + r₁ * r₂ + r₂²)"?

Answer 1

Am einfachsten geht das wohl rückwärts:

Aus dem Strahlensatz folgt

h1:r1 = h2:r2  oder auch  h1*r2 = h2*r1

Wenn du jetzt bei (h1 - h2) * ( r1² + r1 * r2 + r2²)

(Das pi/3 ist ja eh in beiden Formeln.)

die Klammern auflöst bekommst du

h1r1² +h1r1r2 + h1r2² - h2r1² - h2r1r2 - h2r2²

und wegen h1*r2 = h2*r1 wird das

h1r1² +h2r1² + h1r2² - h2r1² - h2r1r2 - h2r2²

und damit hast du

h1r1² + h1r2² - h2r1r2 - h2r2²

und entsprechend

h1r1² + h1r2² - h1r2r2 - h2r2²

also heben die sich auch noch weg und es bleinbt

h1r1² - h2r2² .   q.e.d.

Comments

h1r2r2 + h2r2^{2} != h2r2²

Ansonsten gut, Danke

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sry. habe mich verlesen, ALLES gut: Nochmal Danke