Halllooo,
Ich muss mit der h-Methode limx→x0(x2−x02x−x0)\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\right)x→x0lim(x−x0x2−x02) berechnen. Muss ich hier eine Fallunterscheidung für x0x_0x0 machen?
Für x0>0x_0>0x0>0 habe ich bereits als Ergebnis 2⋅x02\cdot x_02⋅x0.
Nach der dritten binomischen Formel lässt sich der Quotient zu x+x_0 kürzen.
Das ist völlig unabhängig davon, ob x<x_0 oder x>x_0.
Man braucht also keine Fallunterscheidung.
Und was ist mit Fall x_0=0?
Es gibt bei der h-Methode folgende Szenarien:
x:= h+x_0
x:= h-x_0
x:=h+0
Das "dritte Szenario" ist doch das erste (mit dem Spezialfall x_0=0).
Der Term vereinfacht sich zu x²−0²x−0=x\frac{x²-0²}{x-0}=xx−0x²−0²=x
(von mir aus auch zu x+0), und der Grenzwert für x gegen Null ist 0 (was das Gleiche ist wie 0+0=2*0).
Danke, ich habe es einigermaßen verstanden. Sollte die Berechnung von meinem ersten Kommentar auf die zweite Antwort dann aber nicht auch zu 2x02x_02x0 führen?
Muss ich hier eine Fallunterscheidung (...) machen?
Nein.
Ok, wo liegt dann mein Fehler? Für denn Fall x0<0x_0<0x0<0:limx→x0(x2−x02x−x0),x : =h−x0\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\right), x:=h-x_0x→x0lim(x−x0x2−x02),x : =h−x0limh→0((h−x0)2−x02h−x0−x0)\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{(h-x_0)^2-x_0^2}{h-x_0-x_0}\right)h→0lim(h−x0−x0(h−x0)2−x02)limh→0(h2−2hx0+x02−x02h−x0−x0)\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{h^2-2hx_0+x_0^2-x_0^2}{h-x_0-x_0}\right)h→0lim(h−x0−x0h2−2hx0+x02−x02)limh→0(h2−2hx0h−2x0)\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{h^2-2hx_0}{h-2x_0}\right)h→0lim(h−2x0h2−2hx0)limh→0(h(h−2x0)h−2x0)\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{h(h-2x_0)}{h-2x_0}\right)h→0lim(h−2x0h(h−2x0))limh→0(h)=0\lim\limits_{h\to 0}(h)=0h→0lim(h)=0
Du musst h=x−x0h=x-x_0h=x−x0, also x=h+x0x=h+x_0x=h+x0, verwenden.
Dein Ansatz ist falsch. Keine Ahnung, wie du darauf gekommen bist.
Ich glaube, du verwechselt das was und vermischt zwei Methoden.
Es ist doch immer so. Folgendes Beispiel:limx→2x2−4x−2\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}x→2limx−2x2−4 Nun definiere ich x : =h+2x:=h+2x : =h+2:limh→0(h+2)2−4h+2−2\lim\limits_{h\to 0}\frac{(h+2)^2-4}{h+2-2}h→0limh+2−2(h+2)2−4limh→0h2+4hh\lim\limits_{h\to 0}\frac{h^2+4h}{h}h→0limhh2+4hlimh→0h+4=4\lim\limits_{h\to0}h+4=4h→0limh+4=4
würde dort nun -2 stehen, dann wäre es x : =h−2x:=h-2x : =h−2
Bei einem Beispiel merkt man es. Was ist in meiner Berechnung oben falsch?
Ich berechne mal limx→x0(x2−x02x−x0)\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}\right)x→x0lim(x−x0x2−x02)) mit x0=−2x_0=-2x0=−2 mit der h-Methode:limx→−2x2−(−2)2x−(−2)\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^2-(-2)^2}{x-(-2)}x→−2limx−(−2)x2−(−2)2limx→−2x2−4x+2x : =h−2\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2} \quad x:=h-2x→−2limx+2x2−4x : =h−2limh→0(h−2)2−4h\lim\limits_{h \to 0}\frac{(h-2)^2-4}{h}h→0limh(h−2)2−4limh→0h2−4hh\lim\limits_{h \to 0}\frac{h^2-4h}{h}h→0limhh2−4hlimh→0h(h−4)h=−4\lim\limits_{h \to 0}\frac{h(h-4)}{h} =-4h→0limhh(h−4)=−4 keine Fallunterscheidung.
Warum ist dann meine Berechnung oben falsch? Oder wo liegt der Fehler?
Du hast falsch substituiert, aber das hatte ich schon erwähnt, siehe oben!
Ja, merke ich auch gerade. War ein Denkfehler.
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