Allgemeine Tangentengleichung

Question

Bestimmen Sie die allgemeine Tangentengleichung dann den Graphen von f im Punkt P (u/f(u)). Welche Talenten an den Graphen von f schneiden die x- Achse im Punkt q(5/0).

f(x)= -1/4x²+4

Ich bin so vorgegangen:

f'(u)=-1/2u

y=-1/2u(1-u)+3.75

Das stimmt aber laut Lösung nicht es sollte

y=-1/2u(x-u)+(-1/4u²+4)=-1/2ux+1/4u²+4 geben

Wie kommt man auf das schwarz makierte?

Answer 1

Hallo Anna,

y=-1/2u(x-u)+(-1/4u²+4)=-1/2ux+1/4u²+4 geben

Wie kommt man auf das schwarz makierte?

Die Gerade durch den Punkt P( x_p | y_p ) mit der Steigung m hat die Gleichung
y = m • ( x - x_p ) + y_p            [ Punkt-Steigungs-Formel ]

Jetzt musst du nur noch  m = -1/2u   und  P(u|f(u) = ( u | -1/4u² + 4 )  einsetzen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Eine allgemeine Tangentengleichung der Funktion f (x) liese sich mit der Punkt/Steigungsform einer Geraden formulieren als

$g_t(u) \, := \, f'\left(u \right) \; \left(x - u \right) + f\left(u \right)$

also

$g_t(u) \, :=-\frac{1}{2} \; u \cdot ( x - u) + (-\frac{1}{4} \; u^{2} + 4)$

Edit: (ach, die Aufgabe...)

(5,0) ∈ $g_t(u)$

===> $\frac{1}{4} \; u^{2} - \frac{1}{2} \; u \cdot 5 + 4 = 0$

===> 2 Tangenten an $u_1, u_2$

machen wir auch gleich die Normale mit

$g_n(u) \, := \, -\frac{1}{f'\left(u \right)} \; \left(x - u \right) + f\left(u \right)$

kommt ja vielleicht auch auf Dich zu?

Comments

Die Normale muss ich zum Glück nicht berechnen. Aber weisst du wie man den Punkt Q(5/0) einsetzt. Ich hätte nämlich jetzt einfach

-1/2*-1/2*(-1/2*5)+(-1/4*1/2²+4) gerechnet

aber die Lösung ist 1/4u²-1/2u+4=0

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Was Du jetzt aufgeschrieben hast bekomme ich nicht sortiert. Ich hab oben die allgemeine Form $g_t(u)$  (ist die klar?) wenn Du, wie gefordert den Punkt q einsetzt, dann erhältst Du:

q=(5,0) ∈ g_t(u): −1/2u⋅(5−u)+(−1/4u²+4)=0

===> −1/2u⋅5 + 1/2u^2 −1/4u^2 + 4=0 ===> $\frac{1}{4} \; u^{2} - \frac{1}{2} \; u + 4 = 0$

===> $u_1=2, u_2=8$ bekommst Du das hin?

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Ach, mir ist die 5 aus der Gleichung gefallen

===> −1/2u⋅5 + 1/2u² −1/4u² + 4=0 ===> 1/4u²−5/2u+4=0

↦Vielleicht hilfts:

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Das Problem ist irgendwie wenn ich das hier 1/4u2−5/2u+4 im Taschenrechner eingebe gibt es immer 4. Habe es schon mehrfach ausprobiert und verstehe nicht was ich falsch mache.

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Hm,

da gibt es nix einzugeben in den TR (es sei denn es handelt sich um ein CAS, das Gleichungen lösen kann - was gibst Du denn ein?). Das ist eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel  (oder was immer ihr anwendet) aufgelöst werden muss um u zu erhalten.

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Achsoo.. Ich habe ein texas instruments 82 stats ganz normal vom LK Mathe.

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LK Mathe, da sollest Du eine quadratische Gleichung lösen können...

Wie geht ihr damit um?