Was rechne ich falsch bei dieser Tangentengleichung?

Question

Tangentenaufgabe ausrechnen helfen?

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=0.5x^2. Bestimmen Sie die Punkte des Graphen, dessen Tangenten durch den folgenden Punkt verlaufen. B(0/-2)

 

Answer 1

Der Tangentenberührpunkt sei (u|v). Dann gilt: (1) v=0,5u² und f'(u)=u=m

Die Tangentengleichung y=mx-2 erzeugt (2) v=u²-2.(1) und (2) geichsetzen nach u auflösen und v bestimmen.

Comments

also ist alles was ich gerechnet habe falsch?

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Die Ableitung war noch richtig. Der y-Achsenabschnitt war gegeben, weil C auf der y-Achse liegt.

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ehrlich gesagt verstehe ich nach wie vor nicht was ich jetzt rechnen soll. kannst du es mal vorrechnen?

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Zuerst bekommt der Tangentenberührpunkt den Namen (u|v). Setzt man den in die Funktionsgleichung ein, erhält man: (1) v=0,5u² und setzt man ihn in die Ableitung f'(x)=x ein, erlält man f'(u)=u=m. Dabei ist m sowohl die Steigung der Tangente als auch die Steigung der Parabel im Punkt (u|v).
Die Tangentengleichung lautet y=mx-2, weil man den y-Achsenabschnitt kennt. Das ist die y-Koordinate von B.  In die Gleichung y=mx-2 setzt man sowohl (u|v) als auch m=u ein und erhält (2) v=u²-2. (1) und (2) geichsetzen nach u auflösen und v bestimmen:

0,5u²=u²-2  |-0,5u²

0=0,5u²-2    |+2

2=0,5u²      |·2

4=u²           |√

±2=u

Die Berührpunkte sind dann (2|2) und (-2|2). Die beiden Tangenten haben die Gleichungen y=2x-2 und y=-2x-2.

Answer 2

$$f(x)=0,5x^2\\f'(x)=x\\f'(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\=\frac{0,5x^2-0,5 \cdot (-2)^2}{x-0}\\=\frac{0,5x^2-2}{x}$$

Jetzt beide Ergebnisse für f'(x) gleichsetzen:

$$\frac{0,5x^2-2}{x}=x\\0,5x^2-2=x^2\\0,5x^2=2\\4=x^2\\x_1=2 \text{ und }x_2=-2$$

Gruß, Silvia

Comments

also ist alles was ich gerechnet habe falsch ?

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Du wolltest die Tangentengleichung durch den Punkt (0|-2) aufstellen, aber der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.Du sollst die Tangenten an dem Graph finden, die durch diesen Punkt gehen.

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ab wo genau ist denn meine Aufgabe falsch? Weil so wie du es oben aufgestellt hast haben wir das noch nie in der Schule gerechnet.

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Vielleicht kommst du mit dem Ansatz von Roland besser zurecht:

Punkt auf dem Graphen P(u|v)

v = 0,5u²

f'(x) = x

f'(u) = u = m = Steigung der Tangente

allgemeine Tangentengleichung:

y = mx + n

y = mx - 2

v = u*u -2

  = u²-2

Jetzt beide Terme gleichsetzen und nach u auflösen