Abbildungen und Umkehrfunktionen zeigen

Question

Hallo erstmals,

ich habe folgendes Problem:

Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung.  A ⊆ X und B ⊆ Y Teilmengen

 Zu zeigen ist dass f(f^-1(B)) ⊆ B

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll und ob meine Vorgehensweise überhaupt richtig war aber meine naive Idee war:

f^-1(B)={xεA|f(x)εB}⊆A

f(f^-1(x)=f(f^-1(x)|f^-1(x)εA}⊆B

Ein weiterer Teil der Aufgabe war folgender:

"Finden sie jeweils Beispiele dafür, dass die umgekehrten Inklusionen im Allgemeinen nicht gelten."

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen, ich weiß leider nicht was die dort genau von mir Verlangen.

Grüße und danke im voraus.

Answer 1

 f(f^{-1}(B)) ⊆ B

Der klassische Weg solche Inklusionen nachzuweisen ist ja:

Sei y ∈  f(f^{-1}(B)). Dann gibt es ein x ∈ f^{-1}(B) mit f(x)=y.

Zu diesem x gibt es ein z ∈ B mit  f(x)= z.    #

Da f eine Abbildung ist und f(x) = y und f(x) = z

folgt   y = z , also   y ∈ B wegen #.

Für das Gegenbeispiel betrachte f : ℕ ------>  ℕ , x → 2x

  mit A=ℕ  und B=ℕ

Dann ist f^-1(B)= A ; denn nicht alle Elemente von B haben ein

Urbild, aber die Menge aller Urbilder ist ganz A.

Und f(f^-1(B)) =  f(A) = Menge aller geraden Zahlen.

Also ist z.B. 3 zwar in B aber nicht in f(f^-1(B)) .