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Hallo ich benötige einmal Hilfe

und zwar lautet die Aufgabe :

Es sei w= a+ ib ∈ ℂ mit b ≠0.  Es sei z= x1+iy1 die Quadratwurzel von w mit x1>0.

Zeigen sie, dass x1= √(a+/w/)/(2) gilt

UND

leiten sie eine Formel für y1 in Abhängigkeit von a, b und /w/ her.

ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen leider weiß ich nicht wie ich die Aufgabe lösen soll

ich bedank mich herzlich im voraus

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Vom Duplikat:

Titel: Komplexe Zahlen: i) zeigen, dass x1= √(a+/w/)/(2) gilt

Stichworte: komplexe,zahlen,betrag,wurzel,zeigen

Hallo ich komme leider bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen


a) Es sei w= a+i*b ∈ ℂ mit b≠0. Es sei z= x1+ i*y1 die Quadratwurzel von w mit x1 > 0

i) zeigen sie, dass x1= √(a+/w/)/(2)  gilt

/w/ SOLL BETRAG DARSTELLEN


Vielen  Dank im voraus ☺



Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass x1=√(a+|w|)/2 gilt

Stichworte: primzahlen

Aufgabe.PNG

Mein Ansatz war, dass ich|w|=√a^2+b^2

in die Formel einsetze.

Nun weiß ich nicht weiter

Danke

(Für ii wäre ich ebenfalls dankbar)

2 Antworten

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a) Es sei w= a+i*b ∈ ℂ mit b≠0. Es sei z= x1+ i*y1 die Quadratwurzel von w mit x1 > 0

√( a+i*b) = x1+ i*y1    |auf beiden Seiten quadrieren

a+i*b = (x1+ i*y1)2= x12-y12+2x1y1·i

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a= x12-y12 und b=2x1y1

System nach x1 und y1 lösen.

Avatar von 123 k 🚀

Wie kann man ein system nach x und y händisch auflösen.

(1) a= x2-y2

b=2xy oder (2) y=b/(3x)

(2) in  (1) einsetzen:

a= x2-(b/(3x))2=x2-b2/(9x2)

Substitution x2=z

a=z-b2/(9z)   |·z

az=z2-b2/9   |-az

0=z2-az-b2/9

Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z. Die löst man z.B.  mit der pq-Formel. Dann Resubstitution und Einsetzen von x in (2).

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Es sei w= a+ ib ∈ ℂ mit b ≠0.  Es sei z= x1+iy1 die Quadratwurzel von w mit x1>0.

Dann gilt doch

(x1+iy1 )^2 = a+bi

x1^2 +2*x1y1*i -y1^2 = a+bi

==>  x1^2 - y1^2 = a    und   2x1*y1=b

 ==>   x1^2 = a + y1^2  und   y1 = b/(2x1)

==>   x1^2 = a + b^2 / (4x1^2)

==>   4x1^4 = 4ax1^2 + b^2  #

außerdem |w|=√(a^2+b^2), also  b^2 = |w|^2 - a^2

Damit wird # zu 

<=>  4x1^4 = 4ax1^2 + |w|^2 - a^2

<=>  4x1^4  -  4ax1^2  + a^2  =   |w|^2

<=>  ( 2x1^2 - a ) ^2  =   |w|^2

<=>  2x1^2 - a = |w|  oder  2x1^2 - a = -|w|

<=>  x1^2  =  ( |w| + a )/2 oder   x1^2  =  ( a-|w| ) /2

wegen x1>0 also  x1 = √ ( ( |w| + a )/2 )

Avatar von 287 k 🚀

ich habe eine frage was soll dieser Symbol # darstellen

und was wäre dann die Formel für y1 in Abhängigkeit von a, b und /w/

danke im voraus

Einfach das Ergebnis von x1 bei   y1 = b/(2x1)

einsetzen .

Achso also ist die Formel y1= b/(2x1) ?

:-)))

Nee, dann hängt es ja auch von x1 ab.

Einsetzen ergibt

y1= b/(2x1) = b/ ( 2*(√(a+/w/)/2 ) =b/√(a+/w/) 

Achso super danke für die Formel ;-))

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