Die Formeln müsstest du kennen:
z=x+yj⇒∣z∣=x2+y2;tanφ=xy
Dabei musst du beachten, dass der Tangens sich bereits nach 180° wiederholt. Du musst deshalb gucken, in welchem Quadranten z sich befindet und eventuell 180° zu φ addieren.
Nun zu deinem Beispiel:
z=3−j, also x=3;y=−1⇒x2=3;y2=1⇒∣z∣=3+1=4
Zum Phasenwinkel: z liegt im IV. Quadranten, da x positiv und y negativ ist, also 270°<φ<360°.
Wenn du den Taschenrechner benutzt, musst du wissen, dass deren Winkelausgabe zwischen -180° und +180° liegt, während bei uns der Winkel meistens von 0° bis 360° angegeben wird.
tanφ=3−1=−33⇒φ1=150°;φ2=330°
Also: φ=330°=65π
Noch einmal zum Taschenrechner: Die Ausgabe lautet vermutlich -30°. Addiere 180° und du erhältst 150°, dann noch einmal +180° liefert das gesuchte Ergebnis.
Zu den Drehungen:
Am einfachsten ist die Drehung um 90°, da du nur mit j multiplizieren musst.
j⋅z=j⋅(3−j)=1+3⋅j
Die Drehung um 30° ist bei deiner Aufgabe besonders einfach, da 330°+30° = 360° ist. Wenn du den Zeiger von z also um 30° drehst, ergibt das die reelle Zahl 2.
Rechnerisch geht das so:
Ich nenne den Faktor, der die Drehung bewirkt d.
d=cos30°+jsin30°=0,5⋅3+0,5⋅j=0,5⋅(3+j)
d⋅z=0,5⋅(3+j)⋅(3−j)=0,5⋅(3+1)=2