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Aufgabe

Berechnen Sie Betrag und Phase von( 3j) \sqrt{3}-j) ).VerwendenSiegeeignete
Multiplikationen, um( 3j) \sqrt{3}-j) )um 30° gegen den Uhrzeigersinn bzw. um 90°im Uhrzeigersinn zu drehen

(Ergebnis in Normalform angeben).


Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll

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Hallo,

z= 3 \sqrt{3} -j

|z|=√(3+1) = 2

tan α =Imaginärteil/Realteil

tan α = -1/3 \sqrt{3}

tan α  = -3 \sqrt{3} /3

α= (5 π)/6  + π (3.Quadrant)

α=( 11/6) π

z= 2 *e^( j11/6) π))

z=2 (cos(( 11/6) π)) + j (cos(( 11/6) π))

z=2( 3 \sqrt{3} /2 - j (1/2)

z= (3 (\sqrt{3} -j)

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Die Formeln müsstest du kennen:

z=x+yjz=x2+y2;tanφ=yxz=x+yj \Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad \tan\varphi=\dfrac{y}{x}

Dabei musst du beachten, dass der Tangens sich bereits nach 180° wiederholt. Du musst deshalb gucken, in welchem Quadranten z sich befindet und eventuell 180° zu φ\varphi addieren.

Nun zu deinem Beispiel:

z=3jz=\sqrt 3 -j, also x=3;y=1x2=3;y2=1z=3+1=4x=\sqrt 3; y=-1 \Rightarrow x^2=3; y^2=1 \Rightarrow |z|=\sqrt{3+1}=4

Zum Phasenwinkel: z liegt im IV. Quadranten, da x positiv und y negativ ist, also 270°<φ<360°270°<\varphi<360°.

Wenn du den Taschenrechner benutzt, musst du wissen, dass deren Winkelausgabe zwischen -180° und +180° liegt, während bei uns der Winkel meistens von 0° bis 360° angegeben wird.

tanφ=13=33φ1=150°;φ2=330°\tan\varphi=\dfrac{-1}{\sqrt 3}=-\dfrac{\sqrt 3}{3} \Rightarrow \varphi_1=150°; \varphi_2=330°

Also: φ=330°=56π\varphi=330°=\frac{5}{6}\pi

Noch einmal zum Taschenrechner: Die Ausgabe lautet vermutlich -30°. Addiere 180° und du erhältst 150°, dann noch einmal +180° liefert das gesuchte Ergebnis.

Zu den Drehungen:

Am einfachsten ist die Drehung um 90°, da du nur mit jj multiplizieren musst.

jz=j(3j)=1+3jj\cdot z=j\cdot(\sqrt 3 -j)=1+\sqrt 3\cdot j

Die Drehung um 30° ist bei deiner Aufgabe besonders einfach, da 330°+30° = 360° ist. Wenn du den Zeiger von z also um 30° drehst, ergibt das die reelle Zahl 2.

Rechnerisch geht das so:

Ich nenne den Faktor, der die Drehung bewirkt dd.

d=cos30°+jsin30°=0,53+0,5j=0,5(3+j)d=\cos 30°+j\sin 30°=0,5\cdot\sqrt 3 +0,5\cdot j=0,5\cdot(\sqrt 3 +j)

dz=0,5(3+j)(3j)=0,5(3+1)=2d\cdot z= 0,5\cdot(\sqrt 3 +j)\cdot(\sqrt 3 -j)=0,5\cdot(3+1)=2

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wie kann tanφ=13=33 \tan\varphi=\dfrac{-1}{\sqrt 3}=-\dfrac{\sqrt 3}{3} \ sein?

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Aloha :)

Da du das Ergebnis in Normalform angeben sollst, kannst du den Betrag (3)2+(1)2=2\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2 einfach ausklammern und bist fertig:z=3j=2(32j12)z=\sqrt3-j=2\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}-j\,\frac{1}{2}\right)Der Cosinus des Winkels ist offensichtlich gleich 32\frac{\sqrt3}{2} und der Sinus des Winkels ist offensichtlich 12-\frac{1}{2}. Daher beträgt die Phase 30o-30^o bzw. 330o330^o.

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