Funktionen auf Grenzwerte untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie beispielsweise mithilfe eines graphischen Taschenrechners anhand geeigneter Funktionsgraphen jeweils, ob die folgende Grenzwerte existieren. Wenn ja stellen Sie eine Vermutung auf, was der Grenzwert sein könnte. Wenn nicht erklären Sie kurz wieso.

$$\begin{array} { l } { \text { a) } \lim \limits _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos ( 2 x ) } { x ^ { 2 } } } \\ { \text { b) } \lim \limits _ { x \rightarrow 1 } \frac { x ^ { 2 } - 1 } { | x - 1 | } } \\ { \text { c) } \lim \limits _ { x \rightarrow 0 } x ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { x } \right) } \\ { \text { d) } \lim \limits _ { x \rightarrow 0 } x ^ { 2 } \sin \left( \frac { 1 } { x } \right) } \end{array}$$

Kann mir jemand bitte erklären was genau mit Grenzwerte gemeint sind? Ob welche existieren und wie man das sieht.

Answer 1

nehmen wir mal den Ausdruck $$\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos(2 \alpha)}{x^2}$$ wenn Du hier für $x$ den Wert $0$ einsetzt, dann steht da $0/0$ und es ist nicht definiert, was das ist. Jetzt kann man sich der Sache (also der $0$) nähern, wenn man für $x$ kleine Werte einsetzt, die immer kleiner werden: $$\begin{array}{} x & \frac{1- \cos(2 \alpha)}{x^2}\\ \hline 0,1 & 1,9933 \\ 0,01 & 1,9999 \\ 0,001 & \approx 2\end{array}$$ Du siehst dass der Wert immer näher an die $2$ läuft, umso kleiner das $x$ wird. Diesen Wert, gegen den der Term fü $x \to 0$ läuft, nennt man den Grenzwert.

Untersuchen sie beispielsweise mithilfe eines graphischen Taschenrechners ...

Plotte die Funktion doch einfach: Plotlux öffnen

f₁(x) = (1-cos(2x))/x²

dort sieht man, dass der Funktionswert für $x=0$ offensichtlich $=2$ ist.

b) hier lautet die Funktion $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{|x-1|}$$ der Plot sieht so aus: Plotlux öffnen

f₁(x) = (x²-1)/abs(x-1)

Hier scheint es bei $x=1$ einen Sprung von $-2$ nach $+2$ zu geben. Wenn man sich den Term mal ohne Betragstriche ansieht, dann steht dort $$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad \text{für} \space x \ne 1$$ Überlege Dir mal, was passiert, wenn Du Dich von rechts - also vom positivem Bereich - der $1$ näherst $x = 1,1; \space 1,01; \space 1,001 \dots$ oder von links $x=0,9; \space 0,99\dots$. Hier scheint es zwei Grenzwerte zu geben - nämlich $+2$ und $-2$.

c) $$\lim_{x \to 0} \sin\left( \frac1x\right)$$  Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(1/x)

da scheint es keinen Grenzwert zu geben. In der Nähe von $0$ schwankt der Wert zwischen $-1$ und $+1$.

d) $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left( \frac1x\right)$$ Plotlux öffnen

f₁(x) = x²·sin(1/x)

da sieht es wieder aus, als ob der Grenzwert bei 0 liegt. Das $x^2$ vor dem Sinus zieht den Wert auf $0$.

Gruß Werner

Comments

Danke für diese ausführliche Erklärung und deine Mühe !

War alles super verständlich