Question

Seien A, B und C drei Mengen. Zeige (A∪B∪C) ∩ (A∪¬B∪C) ∩ ¬A∪¬C = ∅

P.S. ich weiß, dass dieses Zeichen: ¬ nicht in die Mengenlehre gehört aber ich habe keine andere Möglichkeit gefunden es besser darzustellen und ich hoffe es weiß trotzdem jeder was gemeint ist.

Nun zu meinem Problem. Ich weiß einfach nicht wie ich die obige Aussage zeigen soll. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

Comments

Hallo MathJu,

zunächst zwei Fragen:

1.) ist mit \(\lnot A\) das Komplement von \(A\) also \(\bar{A}\) gemeint?

2.) Bist Du sicher, dass es am Ende \(\dots \cup \bar{C} = \emptyset\) und nicht \(\dots \cap \bar{C} = \emptyset\) heißt?

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ja es ist das Komplement gemeint und ja es heißt ... ∪ C¯

Answer 1

Hallo MatheJu,

IMHO ist der Ausdruck $$(A \cup B \cup C) \cap (A\cup \bar{B} \cup C) \cap \bar{A} \cup \bar{C} \ne \emptyset$$ Auflösen nach Distributivgesetz gibt (\(A \cup C\) 'ausklammern')$$= \left( (A \cup C) \cup (\underbrace{B \cap \bar{B}}_{=\emptyset}) \right) \cap \bar{A} \cup \bar{C} \\ = (\underbrace{A \cap \bar{A}}_{=\emptyset}) \cup (C \cap \bar{A}) \cup \bar{C} \\ = (C \cup \bar{C} ) \cap (\bar{A} \cup \bar{C}) \\ = \bar{A} \cup \bar{C} = \bar{(A \cap C)} \ne \emptyset$$ Bem.: Beachte, dass \(\cap\) Vorrang vor \(\cup\) hat. Siehe auch Wolfram Alpha.

Gruß Werner