Permutation - symmetrische Gruppe

Question

Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten: Wir betrachten die symmetrische Gruppe (S4, o) der Permutationen der Menge {1,2,3,4}. Seien σ = (1 2 3) und τ = (1 3). Bestimmen Sie die folgenden Elemente von S4: σ o τ, τ o σ, τ² = τ o τ, σ², σ³, τ o σ o τ^-1

Handelt es sich hierbei einfach um 2 Permutationen die Miteinander verknüpft werden? Ist also beispielsweise: σ o τ = (1 3)? 

Habe das so berechnet: 

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \) o \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)

Wenn mir das jemand sagen könnte, wäre das sehr nett. Analog könnte ich ja dann weiter rechnen. :)

Answer 1

Ja, es handelt sich um zwei Permutationen, die miteinander verknüpft/verkettet werden.

Allerdings hast du die Schreibweise missverstanden. Mit \(\sigma=\left(1\,2\,3\right)\) ist nicht die Permtutation \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\in S_3\) gemeint, welche 1 auf 1 und 2 auf 2 und 3 auf 3 abbildet. Stattdessen handelt es sich um die sogenannte Zykelschreibweise. \(\sigma=\left(1\,2\,3\right)\) bildet 1 auf 2 und 2 auf 3 und 3 auf 1 (und 4 auf sich selbst) ab. \(\tau = \left(1\, 3\right)\) bildet 1 auf 3 und 3 auf 1 ab (2 bzw. 4 werden jeweils auf sich selbst abgebildet).

Also:

\(\sigma=\left(1\,2\,3\right)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\)

\(\tau=\left(1\,3\right)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}\)

Dementsprechend ist beispielsweise:

\(\sigma\circ \tau=\left(1\,2\,3\right)\circ\left(1\,3\right)=\left(1\right)\left(2\,3\right)=\left(2\,3\right)\)

Denn:
\(1\) wird von \(\tau\) auf \(3\) abgebildet, was von \(\sigma\) auf \(1\) abgebildet wird. [Damit hat man schon einmal den Zykel \(\left(1\right)\).]
\(2\) wird von \(\tau\) auf \(2\) abgebildet, was von \(\sigma\) auf \(3\) abgebildet wird. \(3\) wird von \(\tau\) auf \(1\) abgebildet, was von \(\sigma\) auf \(2\) abgebildet wird. [Damit hat man den Zykel \(\left(2\,3\right)\).]
[Die 4 wird von \(\tau\) bzw. \(\sigma\) wieder auf sich selbst abgebildet.]

Bzw. in Zwei-Zeilen-Form:

\(\sigma\circ \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}\)

Comments

Vielen lieben Dank für die Ausführliche Erklärung und Antwort! Das hat mir sehr geholfen. 

Nun habe ich folgende Fragen noch: 
1) σ o τ = (2 3)
2) τ o σ = (1 2)
3) τ² = τ o τ = \( \begin{pmatrix} 1 & 2  & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \) = ? (wie sieht hier die Zykelschreibweise aus?)
4) σ² = (1 3 2)
5) σ³ = \( \begin{pmatrix} 1 & 2  & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \) = ? (wie sieht hier die Zykelschreibweise aus?)
6) τ o σ o τ^-1 = ? Was sagt mir das hoch -1? Kannst du mir das noch erläutern? :) 

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Zu 1):

\(\sigma\circ\tau = \left(1\,2\,3\right) \circ \left(1\,3\right)=\left(1\right)\left(2\,3\right)=\left(2\,3\right)\)

Zu 2):

\(\tau\circ\sigma = \left(1\,3\right) \circ \left(1\,2\,3\right)=\left(1\,2\right)\left(3\right)=\left(1\,2\right)\)

Zu 3):

\(\tau^2=\tau\circ\tau = \left(1\,3\right) \circ \left(1\,3\right)=\left(1\right)\left(3\right)=\left(1\right)\)

Für die Identitätsabbildung schreibt man in der Zykelschreibweise üblicherweise \(\left(1\right)\). [Normalerweise lässt man Zykel der Länge 1, also Zahlen die auf sich selbst abgebildet werden, in der Zykelschreibeweise weg. Wenn man das jedoch bei der Identität machen würde, würde nichts dastehen, weshalb man üblicherweise \(\left(1\right)\) stehen lässt.]

Anmerkung: Es wäre hier besser \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\) statt\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) zu schreiben, da wir uns in \(S_4\) befinden, es sich also um Abbildungen \(\left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace\to\left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace\) handelt.

Zu 4):

\(\sigma^2=\sigma\circ \sigma = \left(1\,2\,3\right) \circ \left(1\,2\,3\right)=\left(1\,3\,2\right)\)

Zu 5):

\(\sigma^3 = \sigma\circ\sigma^2 = \left(1\,2\,3\right)\circ \left(1\,3\,2\right)=\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)=\left(1\right)\)

Die Zykelschreibweise für die Identitätsabbildung ist hier wieder \(\left(1\right)\).

Zu 6):

Bei \(\tau^{-1}\) handelt es sich um das Inverse zu \(\tau\in S_4\). \(\tau\) ist eine Abbildung, \(\tau^{-1}\) ist die entsprechende Umkehrabbildung.

Wegen \(\tau(1)=3\) ist \(\tau^{-1}(3)=1\). Wegen \(\tau(2)=2\) ist \(\tau^{-1}(2)=2\). Wegen \(\tau(3)=1\) ist \(\tau^{-1}(1)=3\).

In der Zykelschreibweise kann man das Inverse recht einfach bilden, indem man von rechts nach links liest.

\(\tau^{-1}=\left(1\,3\right)^{-1}=\left(3\,1\right)=\left(1\,3\right)\)

Im konkreten Fall kann man auch wegen \(\tau^2=\left(1\right)\) erkennen, dass \(\tau\) selbstinvers ist, also \(\tau^{-1}=\tau\) ist.

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Die Konjugation \(\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}\) von \(\sigma\) mit \(\tau\) kann man in Zykelschreibeweise recht leicht ermitteln, indem man jede Zahl in der Zykelschreibweise von \(\sigma\) mit \(\tau\) abbildet.

\(\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}=\tau\circ\left(1\,2\,3\right)\circ\tau^{-1}=\left(\tau(1)\,\tau(2)\,\tau(3)\right)=\left(3\,2\,1\right)=\left(1\,3\,2\right)\)

Ansonsten kann man natürlich statt ausnutzen dieser Rechenregel auch einfach stur \(\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}\) ausrechnen.

\(\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}=\left(1\,3\right)\circ\left(1\,2\,3\right)\circ\left(1\,3\right)^{-1}=\left(1\,3\right)\circ\left(1\,2\,3\right)\circ\left(3\,1\right)=\left(1, 3, 2\right)\)